lipschitziennes denses dans L^1

Bonjour,

Connaissez-vous une référence pour le résultat suivant ? (ou une preuve rapide ?)

Soient $\Phi \colon X \to E$ une fonction mesurable d'un espace mesuré $(X, {\cal T}, \mu)$ dans un espace polonais $E$, et ${\cal B} \subset {\cal T}$ la tribu engendrée par $\Phi$. L'ensemble des fonctions de la forme $f \circ \Phi$ où $f \colon E \to [0,1]$ est lipschitzienne, est dense dans $L^1\bigl({\cal B}, [0,1]\bigr)$.

Réponses

  • Si :

    1) Toute fonction mesurable de $(X,{\cal B})$ dans $E$ s'écrit $f \circ \Phi$ pour une certaine fonction mesurable $f : E \to \R$.

    et :

    2) Le sous-espace des fonctions lipschitzienne de $L^1(E, \Phi(\mu))$ est dense.

    Alors il me semble que l'on a ton résultat. Il est peut-être plus simple de trouver une référence pour ces deux résultats.
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