Réciprocité quadratique

Salut à tous, je cherche une démo de la réciprocité quadratique (démo complète ou sous forme d'exos ou même les deux ça serait parfait) par les actions de groupes. Si quelqu'un a ça sous la main ça m'intéresse !

Réponses

  • Franz Lemmermeyer a catalogué 233 preuves, de 1788 à 2009, dans ce site :
    http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/fchrono.html

    Ce qui se rapprocherait le plus de l'action de groupe, c'est peut-être la preuve n° 40, de Zolotarev.

    Bonne journée.
  • La démonstration de Raoult est vraisemblablement celle de Zolotarev.
  • Bonjour.
    Pour le caractère quadratique de $-1$ et de $2$, j'ai ceci :

    Sur la droite projective $\Z_p\cup\{ \infty \}$ on fait agir le groupe $D_4$ engendré par les involutions $f:x\mapsto2-x$ et $g:x\mapsto2/x$ symbolisées par $\sim$ pour $f$ et par $=$ pour $g$. Par exemple, si $p = 17$, les orbites sont
    (i) $1\sim1=2\sim0=\infty\sim\infty$ (ordre 4)
    (ii) $3\sim16=15\sim4=9\sim10=7\sim12=3$ (ordre 8)
    (iii) $5=14\sim5=14$ (ordre 2)
    (iv) $6=6\sim13=8\sim11=1$ (ordre 4)
    Dans le cas général, une orbite comporte 8 éléments :
    $x\sim (2-x)=2/(2-x) \sim 2(1-x)/(2-x)=(2-x)/(1-x)\sim x/(x-1)=2(x-1)/x \sim 2/x=x$
    Il y a trois cas où les orbites sont plus courtes.
    (A) Si $x=f(x)$, càd. si $x=1$ ou $\infty$ on a une orbite d'ordre 4 ((i) ci-dessus). Cette orbite existe pour tout $p\geq3$.
    (B) Si $x=g(x)$, càd si $x^2=2$ on a une seconde orbite d'ordre 4 ((iv) ci-dessus). Cette orbite existe ssi 2 est un carré $\mod p$.
    (C) Si $f(x)=g(x)$, càd. si $x=1\pm\sqrt{-1}$ on a une orbite d'ordre 2 ((iii) ci-dessus). Cette orbite existe ssi $-1$ est un carré $\mod p$.

    Il ne reste plus qu'à compter.
    \begin{tabular}{lllcc}
    &&& -1 carré? & 2 carré? \\
    $p=8n+1$, & $|\Z_p\cup\{ \infty \}| = 8n+2 \equiv$ & $4+4+2 \pmod{8}$ & OUI & OUI \\
    $p=8n+3$, & $|\Z_p\cup\{ \infty \}| = 8n+4 \equiv$ & $4 \pmod{8}$ & NON & NON \\
    $p=8n+5$, & $|\Z_p\cup\{ \infty \}| = 8n+6 \equiv$ & $4+2 \pmod{8}$ & OUI & NON \\
    $p=8n+7$, & $|\Z_p\cup\{ \infty \}| = 8n+8 \equiv$ & $4+4 \pmod{8}$ & NON & OUI
    \end{tabular}
    Cordialement.
  • Ca m'a l'air parfait tout ça, merci à tous et surtout à Bu !
  • Euh ça a l'air bien mais j'avoue je comprends pas le début de la démo dans le papier de Bu ; c'est quoi la substitution de $\mathbb Z/{n \mathbb Z} \times \mathbb Z/{m \mathbb Z}$ qui "consiste à passer de l’ordre lexicographique de gauche à droite à l’ordre lexicographique de droite à gauche" ?
  • Tout simplement la substitution qui associe au couple n° k dans l'ordre lexocographique de gauche à droite (celui du dictionnaire) le couple n° k dans l'ordre lexicographique de droite à gauche. Exemple pour n=2 et m= 3
    (1,1) -> (1,1)
    (1,2) -> (2,1)
    (1,3) -> (1,2)
    (2,1) -> (2,2)
    (2,2) -> (1,3)
    (2,3) -> (2,3)
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