Norme d'un automorphisme bicontinu

Rouletabille

Bonjour.
Soit $E$ l'espace des fonctions continues sur $[0,1]$, à valeurs réelles.
Soit $T$ l'application de $E$ dans $E$ qui à $ f \in E$ associe $Tf$ définie, pour tout $x \in [0,1]$, par : $Tf(x)=f(x)+\int_{0}^{x}f\left( t\right) dt$.
Cette application $T$ est linéaire et bijective, et l'application réciproque $T^{-1}$ est définie par : $T^{-1}f(x)=f(x)-e^{-x}\int_{0}^{x}e^{t}f(t)dt$.
On munit $E$ de la norme : $\left\| f\right\| _{\infty }=\underset{0\leq t\leq 1}{\max }\left| f(t)\right| $.
Alors l'application $T$ est continue et $\left| \left| \left| T\right| \right| \right| =2$.
Sa réciproque $T^{-1}$ est continue aussi, et : $\left| \left| \left| T^{-1}\right| \right| \right| \leq 2-e^{-1}$.
Et voici ma question : quelle est la valeur de $\left| \left| \left| T^{-1}\right| \right| \right|$ ?
On pourrait aussi chercher ce qui se passe avec d'autres normes sur $E$.
Merci pour vos réponses.

Haido

Bonjour,

A-tu essayé avec les fonctions constantes ($f= Cte$)?