Formule de la simple distributivité.

Bonsoir à tous,

Hormis dans le contexte géométrique (avec les rectangles), y-a-t-il une démonstration de la formule : k x (a + b) = k x a + k x b ?
Et si oui, peut-on la faire conjecturer / prouver à des élèves de 5-4ème ?
(comme la formule de la double distributivité peut être conjecturée et prouvée grâce à la simple).

En vous remerciant,
PrOf.

Réponses

  • Ça doit pouvoir se faire dans le cadre de l’axiomatique de Peano, bon courage.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Bonjour,

    De quelle définition de la multiplication dispose-t-on ?
  • Bonjour PrOf.

    Pour ceux qui connaissent les tables de multiplication, c'est presque intuitif (avec b=1).
    Tu peux leur faire additionner les résultats des tables de 3 et de 4 : ils devraient assez vite voir la table de 7.

    Si aucun de tes élèves ne connaît les tables de multiplication, bon courage ! Et tant pis pour eux !

    Cordialement.
  • Bonsoir,

    Si $k$ est un nombre entier :

    $$k\times (a+b)=\underbrace{(a+b)+(a+b)+...+(a+b)}_{k\ \text{termes}}=\underbrace{a+b+a+b+...+a+b}_{\text{on peut ôter les parenthèses}}=\overbrace{\underbrace{a+a+...+a}_{k\ \text{termes}}+\underbrace{b+b+...+b}_{k\ \text{termes}}}^{\text{on peut changer l'ordre des termes}}=k\times a+k\times b$$
  • Merci pour vos réponses.

    Et dire que'ils ont encore du mal avec les multiplications.. mais ça même au lycée ^^

    @ Philippe Malot : et dans le cas où k (justement) n'est pas entier, mais un réel quelconque, vous auriez une idée ?

    En vous remerciant.
  • Si $k$ est l'inverse d'un entier $n$, on peut remplacer $a$ par $na$ et $b$ par $nb$, ce qui donne : $k(na+nb)=kna+knb$ puis $\frac1n(na+nb)=a+b$, d'où le résultat doit découler. En combinant $k$ entier et $k$ inverse d'un entier, on obtient la formule pour $k$ rationnel positif quelconque puis on bricole pour passer à négatif si nécessaire.

    Pour $k$ réel quelconque, la question est inaccessible jusqu'au lycée inclus dans la mesure où les réels eux-mêmes ne sont pas définis.
  • Le plus "efficace" pédagogiquement je pense est de présenter la chose de façon géométrique en définissant le produit de deux nombres positifs a et b comme l'aire d'un rectangle de dimension axb. L'avantage est que la propriété est du coup très visuelle et peut s'aborder avec des découpages.

    Arriver à une preuve parfaitement rigoureuse demanderait de définir parfaitement le produit de deux nombres (entiers, puis rationnels), ce qui ,avec des collégiens, est hors de portée.
  • Bonsoir,
    J'avais en tête ce commentaire.
    Une idée (bonne ?) m'est venue récemment concernant la démonstration de l'identité k(a + b) = ka + kb.

    En utilisant la proportionnalité de coefficient k.
    on a pour deux nombres x et y :
    x y x + y
    kx ky k(x+y) = kx + ky

    Ainsi, on peut écrire que (x+y) = kx + ky enb utilisant le coeffcient de proportionnalité k et les opérations sur les colonnes.

    Que pensez-vous de cette idée ?
    Après, bon.. reste à justifier l'utilisation de la proportionnalité ici.

    JérO.
  • Il semblerait que ma dernière intervention laisse perplexe ... ?
  • Y a de quoi.
    Que signifie x y x + y pendu tout seul à sa branche ?::o
    Amicalement
  • Peut-être commencer par le cas k naturel, puis relatif, par récurrence.Ensuite pour les rationnels, puis les réels, je doute fort que des élèves de ce niveau connaissent la notion de densité...
  • Heu .... Zorg69,

    en collège, la récurrence .... même les réels ! Ils ont déjà du mal à se faire aux négatifs et aux rationnels (plus vraiment définis en tant qu'ensemble de nombre, j'ai l'impression.

    A une époque, on définissait effectivement les entiers relatifs comme classe d'équivalence de couples d'entiers naturels, puis les rationnels comme classe d'équivalence de couples de relatifs (particuliers); et aussi les vecteurs comme classe d'équivalence de bipoints.
    "Il est fini, ce temps, il reviendra peut-être,
    En attendant Cinna, ...
    "
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