somme de série de fonctions : bornée ?

Rouletabille

Bonjour.
Voici un exercice d'oral.Soit $a\in \R$, $\left| a\right| <1$. Montrer que la fonction~: $f(x)=\overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}\sin (a^{n}x)$ est définie pour tout $x\in \R$, qu'elle est de classe $\mathcal{C}^{\infty }$, et développable en série entière autour de $0$, et trouver son rayon de convergence et son développement.
La série de terme général $u_{n}(x)=\sin (a^{n}x)$ est normalement convergente sur tout segment de $\R$, et pour $k\in \N^{*}$, la série de terme général $u_{n}^{(k)}(x)$ converge normalement sur $\R$ tout entier. Ainsi, la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty }$ sur $\R$. Avec la formule de Taylor-Laplace, on prouve que la fonction $f$ est développable en série entière autour de $0$ avec rayon de convergence infini, et que : $\displaystyle f(x)=\overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}\frac{(-1)^{n}}{1-a^{2n+1}}\cdot \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$.Mais de plus, il me semble que cette fonction $f$ est bornée sur $\R$ : vrai ou faux ?

Rouletabille

Bon, je ne saurai jamais si cette fonction est bornée :-(

Maxime T.

Bonjour,
une idée en l'air: tu as essayé de comparer avec la fonction sinus?
Ton développement y ressemble beaucoup.
Cordialement

Fin de partie

La série de terme général $ u_{n}(x)=\sin (a^{n}x)$ est normalement convergente

Pourquoi?

Maxime T.

FdP: je pense que c'était uniformément sur tout compact. En effet, clairement pas normalement.

egoroffski

En même temps c'est écrit depuis le début :

Rouletabille a écrit:

La série de terme général $ u_{n}(x)=\sin (a^{n}x)$ est normalement convergente sur tout segment de $ \mathbb{R}$,

Maxime T.

Maxime T. écrivait: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,904082,904639#msg-904639

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EDIT: avec $|\sin(x)| \leq |x|$ on doit bien avoir la convergence normale sur les compacts, je m'étais dit qu'on avait juste l'uniforme... faut que j'aille manger, je dirais peut être moins de bétise.

Fin de partie

Est-ce que cette fonction est majorée?

Sauf erreur, on a pour tout $x$ réel:
$sin(x)\geq x-\frac{ x^3}{ 6}$

doute

Fin de partie écrivait: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,904082,904647#msg-904647

Pour $x=-100$, j'ai comme un doute.

Fin de partie

Cela m'apprendra à écrire sans réfléchir.

john_john

$f$ ne me semble pas bornée quel que soit $a$. Sauf erreur, on a toujours $\overset{N-1 }{\underset{n=0}{\sum }}\sin a^{n}x=f(x)-f(a^Nx)$. Si $f$ est bornée, le membre de gauche l'est aussi.

Or, pour $a=1/5$ et $x=5^N\pi/2$, le dit membre est égal à $N$.

Cordialement, j__j

discret

Fin de Partie a écrit:

Cela m'apprendra à écrire sans réfléchir

En revanche, ton inégalité est vraie sur $\left [0, \frac{\pi}{2} \right]$.

Rouletabille

@ john_john
Bravo ! Le problème posé se change en : trouver l'ensemble des réels $a$ pour lesquels la fonction $f$ est bornée sur $\R$.