clarifier quelques notions en analyse

fatate2231

Bonjour , s'il vous plait aidez moi , j'ai quelques notions que je ne comprend pas en analyse
-Est ce qu'on ne peut définir l'intégrale d'une fonction que si elle est mesurable? sinon qu'elle est la relation entre la mesurabilité et l'integrale? et pourquoi a t-on besoin de définir la mesure avant de parler de l'intégrale(au sens de Lebesgue)?
merci de vouloir me donner du temps pour m'aider.

FdP-HLM

Il y a beaucoup de théorie de l'intégration qui s'appliquent donc à des fonctions possédant des propriétés différentes.

Mais je suppose que tu parles de l'intégrale de Lebesgue.
Pour qu'une fonction soit intégrable dans cette théorie il faut que cette fonction soit mesurable.
Mais la réciproque n'est pas nécessairement vraie.

En espérant ne pas avoir écrit trop d'énormités.

FdP-HLM

Sauf erreur de ma part, il ne faut pas confondre les concepts de mesure, de fonctions mesurables.

Askelad

Quelque soit l'intégrale (Riemann, Lebesgue, de jauge...) :

Mesurable, c'est grosso-modo la régularité de la fonction. Si la fonction n'est pas mesurable, on ne sait pas (en tout cas moi je ne sais pas ) définir l'intégrale. (L'intégrale de Riemann demande aussi plus de régularité que seulement mesurable, mais d'autres intégrales plus puissantes, comme Lebesgue, peuvent s'en passer.)

Mais être juste mesurable ne suffit pas non plus à pouvoir définir l'intégrale, il faut toujours certaines conditions supplémentaires : généralement que "l'aire" sous la courbe ne soit pas trop grande (=pas infinie, mais le sens précis de cette condition dépend de l'intégrale). Par exemple la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R^+}$ (prolongée par n'importe quelle valeur en $0$) est mesurable (et même continue par morceaux) mais elle n'est pas intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue, parce qu'elle est trop grande, en $0$ et aussi à l'infini, et qu'il faudrait donner la valeur $+\infty$ à son intégrale.

Askelad

Pour le coup de définir la notion de mesure dans la construction de l’intégrale de Lebesgue, ce n'est pas obligatoire. j'ai vu des cours qui s'en passaient. Mais, c'est super utile, car après on peut aussi intégrer des fonctions par rapport à d'autre mesures. Et que la notion de mesure est de toute façon capitale si tu veux un jour faire des probas.

zorg690

Bonjour

Comme dit ci-dessus, une fonction intégrable est TOUJOURS mesurable, mais inversement, il y a des fonctions mesurables qui ne sont pas intégrables. Un exemple en est donnée par x--> sinx/x. Son intégrale généralisée sur la demi-droite réelle positive est convergente, en revanche bien que cette fonction soit continue, donc mesurable, elle n'est pas intégrable (pourquoi?)

Fin de partie

Son intégrale généralisée sur la demi-droite réelle positive est convergente, en revanche bien que cette fonction soit continue, donc mesurable, elle n'est pas intégrable (pourquoi?) a écrit:

Présenter les choses de la sorte à quelqu'un qui ne semble pas bien maîtriser la base du sujet est-ce raisonnable?

Car si on lit sans percevoir toute la subtilité de la phrase on a deux informations qui semblent contradictoires:
l'intégrale est convergente, la fonction n'est pas intégrable. Cela peut être déroutant. B-)-

zorg690

Oui je sais mais la pédagogie n'est pas mon fort

Fin de partie

Oui je sais mais la pédagogie n'est pas mon fort a écrit:

Si tu sais manier le fouet, tu es déjà pardonné. X:-(

fatate2231

merci beaucoup de votre aide.