Théorème de Flett

discret

Suite à l'énorme succès (!) du récent fil sur les deux inégalités de van der Corput http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,898290,898290#msg-898290 (si vous ne l'avez pas encore fait, allez vite consulter le sujet d'analyse intitulé "van der Corput en pcsi"...), je vous propose le théorème de Flett.

En 1958, Thomas Muirhead Flett (1923 - 1976) a démontré [1] le résultat suivant qui est bien évidemment relié au théorème des accroissements finis.

Soit $f$ une fonction dérivable sur $[a,b]$ telle que $f'(a) = f'(b)$.

1. Montrer qu'il existe $c \in \left ]a,b \right [$ tel que $f(c) - f(a) = f'(c) (c-a)$.

2. Quelle interprétation géométrique pouvez-vous donner de ce résultat ?


NB. Par la suite, le théorème de Flett a été généralisé par plusieurs auteurs. Voir par exemple le preprint [2].

Références.

[1] T. M. Flett}, A mean value theorem, The Mathematical Gazette 42 (1958), 38--39.

[2] J. Molnarova}, On generalized Flett’s mean value theorem, preprint (2011)

JLT

Par translation, on se ramène à $a=0$ et $f(a)=0$. En remplaçant $f(x)$ par $f(x)-f'(a)x$, on peut supposer $f'(a)=f'(b)=0$.

Supposons par l'absurde que $f(t)\ne f'(t)t$ pour tout $t\in ]a,b[$. Alors la dérivée de $t\mapsto \dfrac{f(t)}{t}$ ne s'annule pas sur $]a,b[$. D'après le théorème de Darboux, elle est de signe constant. Quitte à remplacer $f$ par $-f$, on peut supposer qu'elle est strictement positive, donc $t\mapsto \dfrac{f(t)}{t}$ est strictement croissante sur $]a,b[$. Comme sa limite en $0$ est $f'(0)=0$ et sa limite en $b$ est $\dfrac{f(b)}{b}$, on a $f(b)>0$.

D'autre part, la dérivée en $b$ de $t\mapsto \dfrac{f(t)}{t}$ est positive ou nulle (toujours d'après le théorème de Darboux), ce qui donne $0\leqslant\dfrac{f'(b)b-f(b)}{b}=\dfrac{-f(b)}{b}<0$. Contradiction.

Interprétation : si un objet a la même vitesse aux instants $a$ et $b$, alors il existe un instant $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que la vitesse de l'objet à cet instant est égale à la vitesse moyenne depuis le début.

discret

Merci et Bravo à JLT, qui a trouvé là une méthode efficace, qui diffère de celle de Flett.

D'autres amateurs ?

Jer anonyme

Pour l'interprétation géométrique : la tangente au point d'abscisse $c$ coïncide avec la corde entre les points d'abscisse $a$ et $c$.

Pour la preuve, introduisons la pente $p(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)$ avec prolongement évident en $a$. Si $p(b)=f'(b)$, on prend $c=b$. Sinon, on suppose par exemple que $p(b)>f'(b)=f'(a)=p(a)$. On se convainc alors que pour $x$ inférieur à et assez proche de $b$, on a: $p(x)>p(b)$. Du coup, la pente $p$ atteint son maximum à l'intérieur de l'intervalle et en un tel point $c$, on doit pouvoir montrer que $p(c)=f"(c)$.

pofCPGE

Comme Jer a l'air de vouloir revisiter tous les classiques des colles, je vous propose un petit exo que je donne souvent en colle:

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $[a,b]$ et $c$ tel que $f'(c)$ n'est pas un taux d'accroissement de $f$. Calculer $f''(c)$.

(au passage, j'ai déjà vu cet exo comme le précédent dans des sélections olympiques roumaines de première...)

Eric

On pourra aussi consulter l'article de Trahan dans Mathematics Magazine.

Jer anonyme

Bon, c'est très incitatif. La seule réponse raisonnable compatible au contrat didactique est $f''(c)=0$. Sauf si $c=a$ ou $b$ auquel cas on ne peut rien dire de toute façon (prendre $x\mapsto Ax^2$ sur $[-1,1]$ par exemple).
Si par exemple $2A=f''(c)>0$, on trouve $\epsilon>0$ tel que pour $x$ dans $[c-\epsilon,c+\epsilon]$, $f(x)\ge A(x-c)^2/2+f'(c)(x-c)+f(c)$. Une parallèle à la tangente en $(c,f(c))$ assez proche de ce point coupe le graphe en deux points dont l'abscisse est comprise entre $c$ et $c\pm\epsilon$.
Mais je suis convaincu, j'arrête les exercices de colle.

discret

Merci à tous pour vos contributions.