coercivité Lax-Milgram
dans Analyse
Bonjour,
On suppose $\alpha \geq |\beta|$
Montrer que la forme bilinéaire
$a(u, v) = \int_0^1 u'(x) v'(x) + c u(x) v(x) dx + \alpha [u(0) v(0) + u(1) v(1)] + \beta [u(0) v(1) + u(1) v(0)] $
est coercive.
On suppose $\alpha \geq |\beta|$
Montrer que la forme bilinéaire
$a(u, v) = \int_0^1 u'(x) v'(x) + c u(x) v(x) dx + \alpha [u(0) v(0) + u(1) v(1)] + \beta [u(0) v(1) + u(1) v(0)] $
est coercive.
Réponses
-
Aucune condition sur sur $c$ ?
Qu'as-tu fait ? -
$c>0$
J'ai fait :
$\int_0^1 u'(x)^2 + c u(x)^2 dx \geq \min (1,c) || u ||^2_{H^1}$. -
Bonsoir,
Sur quel espace travaille-t-on? Je dis çà par rapport aux conditions aux limites -
$u\in H^2$
et les conditions aux limites sont:
$-u'(0) + \alpha u(0) + \beta u(1) = 0$
$u'(1) + \alpha u(1) + \beta u(0) = 0$ -
$ab\leq a^2/2 + b^2/2$
O.G. -
Alors $u(0) v(0) \leq \frac{u(0)^2}{2} + \frac{v(0)^2}{2}$.
En fait, je vois pas de ab ici vu que j'étudies $a(u,u)$. -
Mais tu peux majorer u(0) pour faire apparaître des termes volumiques.
-
$u(0)u(1)\leq \cdots$
O.G. -
Merci O.G,
Si je fais
$\alpha (u(0)^2 + u(1)^2) \geq 2 \alpha u(0) u(1)$
J'obtient
$a(u,u) \geq ... + (2 \alpha+ 2 \beta) u(0) u(1)$
Je rappel :
$a(u, u) = \int_0^1 u'(x)^2 + c u(x)^2 dx + \alpha [u(0)^2 + u(1)^2] + 2 \beta [u(0) u(1)] $.
Par ailleurs, je remarque que :
$(\int_0^1 u'(x) dx)^2 = (u(1)-u(0))^2 = u(1)^2 + u(0)^2 - 2 u(1) u(0)$ -
Bonjour,
Je suis ce fil depuis quelque temps, et je n'ai toujours pas compris où était le problème qui fait couler autant d'encre. -
Bonjour gb,
Il faut encore que je prouve que $u(0) u(1) \geq C || u ||^2_{H¹}$ pour finaliser la démonstration.
(D'après l'hypothèse, je sais que $2\alpha + 2\beta >0$)
La définition de la coercivité est $a(u, u) \geq D || u ||^2_{H¹}$ -
M'enfin :
\[\alpha \bigl( u(0)^2 + u(1)^2 \bigr) + 2 \beta u(0)u(1) \geqslant \lvert \beta \rvert \bigl( u(0)^2 + u(1)^2 \bigr) + 2 \beta u(0)u(1)\]
et en notant \(\varepsilon = \pm 1\) le signe de \(\beta\) :
\[\alpha \bigl( u(0)^2 + u(1)^2 \bigr) + 2 \beta u(0)u(1) \geqslant \lvert \beta \rvert \bigl( u(0)^2 + u(1)^2 + 2 \varepsilon u(0)u(1) \bigr) = \lvert \beta \rvert \bigl( u(0) + \varepsilon u(1) \bigr)^2 \geqslant 0\]
et finalement :
\[ a(u,u) \geqslant \min (1,c) \lVert u \rVert^2_{H^1} -
Amen!
-
Merci beaucoup.
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Bonjour!
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