sci

jamie

N'y a-t-il pas une erreur ? Plutôt $f(a) \leq \liminf\limits_{x \to a} \ f(x) $

Zo!

Non, il n'y a pas d'erreur. On a toujours $f(a)\geq \liminf_{x\to a} f(x)$ (quand elle existe).

jamie

Euh oui pardon j'ai écris trop vite, ce que je voulais dire c'st que dans la éfinition qui est énoncé on a un $=$ aulieu d'un $geq$(la première écriture e la définition: $ f(a) = liminf_{x \to a} \quad f(x) $ au lieu de ce que tu as écris $ f(a) \geq liminf_{x \to a} \quad f(x) $ ce qui me parait plus cohérent

Zo!

Tu écris trop vite et tu lis trop vite (comme dans l'autre fil). Relis toi et réfléchis à ce que tu lis.
Je dis que, à partir du moment ou la limite inférieure existe, on a toujours $f(a)\geq \liminf_{x\to a} f(x)$. la fonction $f$ est semi-continue inférieurement si et seulement si on a en plus $f(a)\leq \liminf_{x\to a} f(x)$, c.-à-d. au total si et seulement si $f(a)= \liminf_{x\to a} f(x)$.

jamie

Dans mon cours j'ai : "$f$ est sci en $x$ ssi $x_n \to x \implies \liminf_{n \to \infty} f(x_n) \geq f(x)$ (d’où ma première question...).
Mais effectivement je comprends mieux, encore merci zo! (effectivement j'ai besoin de relire plusieurs fois tes messages pour les comprendre, mais ça finit par rentrer...

PS: comme l'espace d’arrivée est la droite achevée, on a toujours une $\liminf$.

christophe c

Si tu veux, l'idée est que "sci en $a$" veut dire que $f(x)$ ne peut pas être très en dessous de $f(a)$ quand $x$ est "trop proche" de $a$. Ce qui se traduit par $\forall e>0\exists U\in Voisinages(a)\forall x\in U: f(x)>f(a)-e$

jamie

ok moi je le voyais comme, soit f est continue en a aucquel cas elle est sci en a, soit il y a une discontinuité en a et du coup "le point" se trouveen dessous du "crochet" en a (pas sur d'âtre très clair, ni très juste d'ailleurs...

Zo!

Je ne vois pas trop en quoi ça explique ta question.
Pourquoi ne t'attelles-tu pas à démontrer l'équivalence des deux propriétés indiquées dans le scan, et l'équivalence aussi avec la propriété
"Pour toute suite $(x_n)$ convergeant vers $a$, on a $f(a)\leq \liminf_{n\to +\infty} f(x_n)$" ?

christophe c

Attention, pour le troisième, (avec la suite) il semble que les espaces topologiques sont quelconques (pas forcément métriques). Donc pour l'exo de Zo! et l'équivalence avec la propriété qui concerne les suites, suppose l'espace métrique (il y a des espaces non métriques cool où aucune suite non constante à partir d'un certain rang ne converge).

Zo!

Oui, je pense que le cours de jamie se place dans le cadre d'un espace métrique (mais le scan parle d'un espace topologique général, en effet).

jamie

OK, je m'attelle à la démo. On suppose être dans le cas métrique et on considère la définition avec les voisinages ! On veut mq montrer que quand $x_n \to x$ alors la $\liminf$ de $f(x_n) \leq f(x)$

Rmq Remarque. Donc intuitivement quand on s’approche de $x$ on est légèrement au dessus, ou plutôt cf CC "l'idée est que "sci en " veut dire que ne peut pas être très en dessous de $f(a)$ quand est "trop proche" de $a$"

jamie

On peut déjà dire que $\forall \varepsilon >0, \exists N,\forall n \geq N, f(x_n)>f(x)-\varepsilon$
donc en passant à l'infimum on a: $\forall \varepsilon >0, i_N=inf_{n \geq N} f(x_n)>\geq f(x)-\varepsilon$

Zo!

On veut mq que quand $ x_n \to x$ alors la lim inf de $ f(x_n) \leq f(x)$

Non, tu es mal barré. La propriété à montrer est :
"Pour toute suite $ (x_n)$ convergeant vers $ a$, on a $ f(a)\leq \liminf_{n\to +\infty} f(x_n)$"

Encore un problème de lecture ?

jamie

Désolé, je scannerais ce soir car le latex ç est bcp trop lent et source d'erreur (surtout avec une tablette!)

jamie

Bonjour,

Je dois montrer un certain nbr de propriétés ,est ce correcte ?
1) Premier sens
[attachment 31512 Capture.PNG

2) dans le sens inverse]

jamie

La preuve du cours est imbitable! (le b) qui est censer montrer la réciproque, enfin je crois...):

gb

Bonjour,

Dès que je vois une conclusion telle que : \(f(x) \in f^{-1}(]-\infty,a])\), j'ai un mauvais pressentiment.

Quelle propriété as-tu l'intention d'ntiliser pour prouver que \(f^{-1}(]-\infty,a])\)est fermé ?

jamie

Oui bon préssentiment! remplacer f(x) par x (merci Gb)

@CC : ce n'est pas le même problème (ici je cherche la démo d'une autre proposition

Zo!

1°) Tu as déjà ouvert un fil sur sci, avec des caractérisations équivalentes. Pourquoi ne continues pas dessus ?
2°) La preuve du cours me semble tout à fait "bitable". Il suffit de faire l'effort de la lire et la comprendre.

jamie

Ca fait 20 min que je suis dessus cette démo est hors de ma portée (avec si peu de détails....

christophe c

@Jamie, j'ai l'impression que dans ta lecture ou/et production, tu souhaites court-circuiter le "retour aux sources", ie aux descriptions que les définitions abrègent. Il est difficile de s'en sortir comme ça.

Pour info par exemple $\{f>a\}$ abrège $\{x\in X \mid f(x)>a \}$. Mais n'empile pas trop ce genre de raccourcis

Par ailleurs, si je lis ton dernier pdf, il est assez formel. Le petit a prétend explictement venir "du lemme 43" (qu'on ne voit pas) et le petit b ne comporte qu'un seul "donc" (qui hélas est invalide car constitue une rédaction pour "avertis"). Mais dans tous les cas, tu n'as qu'une seule inférence à interpeller. Ce qu'on appelle "une preuve imbitable" c'est genre, 36512 lignes de calculs, etc, etc

N'oublie pas qu'une preuve doit se lire telle quelle, ie, il n'y a pas "à chercher" quelque chose (sinon, ce n'est pas une preuve)

Zo!

Un sens est réglé par le lemme 43. L'autre sens est un bout de la démonstration que je te suggérais de faire (voir ci-dessus), et à mon avis ça utilise quelque chose qui se situe avant dans le cours. Du genre que $f$ est sci en $x$ si et seulement si pour tout $\epsilon >0$, il existe un voisinage de $x$ sur lequel $f$ est plus grand que $f(x)-\epsilon$.

gb

On fixe \(x\) dans \(X\).

On considère un nombre réel \(a\) dans \(]-\infty,f(x)[\). Par hypothèse \(f^{-1}(]-\infty,a])\) est fermé, donc \(f^{-1}(]a,+\infty[)\) est ouvert.

De plus, vu la condition imposée à \(a\), \(x\) appartient à \(f^{-1}(]a,+\infty[)\), donc \(f^{-1}(]a,+\infty[)\) contient un voisinage \(V_0\) de \(x\), ce qui fournit :
\[\liminf_{t \to x} f(t) = \sup_{V} \inf_{t \in V} f(t) \geqslant \inf_{t \in V_0} f(t) \geqslant a.\]

Il suffit alors de passer à la borne supérieure sur \(a\) pour obtenir : \(\liminf\limits_{t \to x} f(t) \geqslant f(x)\) et la semi-continuité inférieure de \(f\) en \(x\).

jamie

Désolée, je n'avais pas vu les autres messages

zorg690

Jamie,

Qu'en sera-t-il quand tu verras la semi-continuité inférieure au sens faible?

christophe c

Je pense que tu dis ça parce que tu voudrais le comprendre sans avoir à "gérer du langage". Hélas, ce sont des notions qui sont au fond très fidèles au langage, ie, il te faut mettre tous les quantificateurs, prendre le temps et ne pas espérer t'en sortir par une pirouette calculatoire sur des expressions toute faites (ça tu le peux quand ce genre de chapitre ne te pose plus de problème et que tu es sûre de toi)

Exemple, gb t'a répondu de manière détaillée et à la fin de son post, on lit:

$(\liminf\limits_{t \to x} f(t) \geqslant f(x)\)$

Bien évidemment cet énoncé abrège (officiellement!) quelque chose. Peux-tu me dire quoi?

Si tu ne peux pas le faire, ce n'est pas le chapitre qui te pose problème, mais un "refus" ou une "allergie" à visiter les pointeurs d'abréviation.

(PS: ne compte pas trop sur ma présence, je t'ai répondu, mais il faut que j'aille dormir car je me lève très tôt. Je peux donc déconnecter à ton moment)

christophe c

Ah pardon, j'ai répondu à un message de Jamie qui a maintenant disparu car elle a modifié son post. Elle a témoigné d'un sentiment