Changement de mesure

Askelad

Bonsoir,

J'essaie de comprendre le théorème de Sanov, mais j'ai vraiment du mal avec les problèmes de topologie et de mesurabilité qu'on rencontre, n'étant pas un spécialiste de ces domaines :S Déjà, avant d'attaquer le théorème général, rien que dans le cas d'un alphabet fini, il y a quelques détails techniques qui me gênent.


Soit $X$ une variable aléatoire sur un ensemble fini $\mathcal{X}$, bien évidemment muni de la tribu $\mathcal{B} = \mathcal{P}\left( \mathcal{X}\right)$, de loi $\mathbb{P}$. Pas de problème pour construire l'espace produit $\mathcal{X}^{n}$, muni de la tribu produit $\mathcal{B}^{n}$ et de la loi produit $\mathbb{P}^n$.
Maintenant je veux étudier la loi de la distribution empirique : je me place sur l'espace $\mathcal{M}_1\left( \mathcal{X},\mathcal{B} \right) $ des probabilités sur $\left( \mathcal{X},\mathcal{B} \right)$ et même en fait sur l'espace $\mathcal{M}_f\left( \mathcal{X},\mathcal{B} \right) $ plus grand des mesures (signées) finies sur $\left( \mathcal{X},\mathcal{B} \right)$ car j'ai besoin de la structure d'espace vectoriel.
L'application distribution empirique $$(X_1,\dots,X_n) \mapsto \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\delta_{X_i}}$$ me permet de définir la probabilité image $\mathbb{Q}$sur $\mathcal{M}_f\left( \mathcal{X},\mathcal{B} \right) $ muni de la tribu image $\mathcal{B}_i$ (la plus grande tribu qui rend l'application distribution empirique mesurable).
Maintenant j'aimerais définir une nouvelle proba $\mathbb{Q}'$ sur $\mathcal{M}_f\left( \mathcal{X},\mathcal{B} \right)$ (qui est isomorphe à $\mathbb{R}^n$) en définissant une densité par rapport à $\mathbb{Q}$ grâce à n'importe quelle application linéaire $\lambda$ sur $\mathcal{M}_f\left( \mathcal{X},\mathcal{B} \right)$ par :
$$ \frac{d\mathbb{Q}'}{d\mathbb{Q}} = e^{\lambda(x)} $$
Problème : cette application n'est pas mesurable de $\mathcal{B}_i$ dans la tribu borélienne sur $\mathbb{R}$, n'est ce pas ? Comment je justifie cette densité ? Faut il compléter la tribu image ? Et accessoirement, est ce que je n'ai pas trop raconté de conneries jusque là ? :)o

Askelad

Je ne sais pas si ça intéresse quelqu'un, mais j'ai fini par trouver la réponse : je racontais effectivement n'importe quoi ! :)o

La tribu image directe est au contraire super grande, c'est même la tribu discrète sur $\mathcal{M}_f\left( \mathcal{X},\mathcal{B} \right)$, donc il n'y aucun problème de mesurabilité lorsqu'on définit une densité.
Je m'étais laissé piéger par le nom de la tribu image directe, et j'avais oublié qu'elle est définie, comme son nom ne l'indique pas, par une image réciproque. 8-)