discret dans un compact

discret

Bonjour,
il est connu qu'un ensemble discret dans un compact est nécessairement fini.
J'ai un problème avec l'ensemble dénombrable et infini suivant $A=\{\frac{1}{n},\ n\geq1\}$ qui est contenu dans le compact $[0,1]$.
Pourquoi $A$ n'est pas discret ?? $\forall n\geq1$, $\exists r>0$ tel que $A\cap]\frac{1}{n}-r,\frac{1}{n}+r[=\{\frac{1}{n}\}$ !
Merci de m'éclairer sur cette question.

Philippe Malot

Bonjour,

Quelle est ta définition de "discret" ?

Bu

Ton exemple montre qu'un sous-ensemble discret d'un espace compact n'est pas nécessairement compact. Une condition nécessaire et suffisante est qu'il soit fermé.

Bu

(Pour un espace discret, compact = fini).

discret

Merci,
Effectivement, ma confusion était la suivante :
"Un compact et discret est fini" et non "un discret dans un compact est fini".
$A$ n'est évidemment pas compact car non fermé et $A\cup\{0\}$ est compact mais pas discret (à cause de $0$).
Merci encore !

Bu

Avec plaisir.

discret

Même si cela n'est pas très intéressant, je tiens à préciser que ce "discret" n'est pas moi !