arg(u) et arg( u+1)

Bonjour, on voit géométriquement que si u est sur le cercle unité alors arg(u)= 2arg(u+1).
On a arg(u)= arctan(y/(1+x)) et arg(u+1)= arctan(y/(x+1 + racine((x+1)²+y²)) et je ne parviens pas à démontrer la relation précédente....
Merci pour votre aide

Réponses

  • La relation $\mathrm{arg}(u)= \arctan\frac{y}{1+x}$ n'est pas exacte (facteur $2$) et pas toujours vraie (exemple : si $u=-1$...) (bon, sur le cercle, c'est le seul contre-exemple...).

    Pour calculer l'argument de $1+u$, il serait commode d'écrire une forme géométrique de $1+u$. Pour cela, partons d'une forme géométrique de $u$, disons $u=e^{ia}$ avec $a$ réel. La clé : factoriser l'arc moitié (de $a$...) dans $1+e^{ia}=e^{ia/2}\times(\cdots+\cdots)$.
  • Bonjour.

    La formule que tu emploies ( arg(u)= arctan(y/(1+x)) ) n'a pas de sens pour moi, faute de connaître la signification de x et y. Manifestement, ce n'est pas u=x+iy.
    La seule chose que je peux t'apporter est qu'il semble nécessaire d'utiliser le fait que |u|=1.

    Cordialement.
  • Ben si c 'est u = x+i y
    si x = cos a et y = sin a
    alors y/(1+x)=sin a/(1+cos a ) = tan (a/2) non?Et la synthèse doit se faire facilement
  • En fait c'est 2 arctan(y/(1+x)) mais çà ne change rien au fait que je ne parviens pas à démontrer ce que je vois
  • Justement,

    tu obtiens arg(u)/2. Enfin, si u est dans le premier ou le quatrième quadrant (x>=0). Et de plus, en voyant que dans ce cas arg(u)=y/x si x n'est pas nul, tu as déjà ta réponse ...

    C'est quand même bizarre d'utiliser (de travers) pour démontrer une propriété une formule qui est basée sur cette propriété.

    Cordialement.
  • Mon problème n'était pas de démontrer que 2arg(u+1) = arg(u), çà j 'y arrive mais de le retrouver à l'aide de la formule avec les arctan....Mais bon c est pas grave je reprendrai çà plus tard
  • Pour u=x+iy, avec x>0, tu as arg(u)= arctan(y/x) et arg(1+u)=arctan(y/(x+1)).
    Tu veux donc démontrer que arctan(y/x)=2arctan(y/(x+1)) lorsque x²+y²=1. C'est ça ?

    Sinon, je n'ai vraiment pas compris d'où peut bien sortir l'atroce arg(u+1)= arctan(y/(x+1 + racine((x+1)²+y²)).
  • Soient $x>-1$ et $y$ tels que $x^2+y^2=1$ et $u=x+yi$.

    Pour relier $\arg(u)$ et $\arg(u+1)$ sans calcul, on constate que $u+1$ est l'affixe du vecteur $\vec{SM}$ où $S$ a pour affixe $-1$ et $M$ a pour affixe $u$. Le théorème de l'angle inscrit donne alors : $\arg(u)=2\arg(u+1) \pmod{2\pi}$ (observer l'arc délimité par $N=(1,0)$ et $M$ depuis $S$). C'est même sûrement de là que vient la formule initiale $\arg(u)=2\arctan\frac{y}{x+1}$, justifiée par la remarque que $x+1>0$.

    Si on applique le même raisonnement sur le cercle de centre $0$ et de rayon $|1+u|$, on obtient la formule (moche) : $\arg(1+u)=2\arctan\frac{y}{x+1+\sqrt{(x+1)^2+y^2}}$. Ce qui est bien compliqué pour on ne sait pas trop quoi.

    PS : «çà» est un adverbe de lieu et pas un pronom démonstratif.
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