Intégrale d'une fonction vectorielle

Askelad

Bonjour à tous,

L'intégrale de Lebesgue permet d'intégrer des fonctions à valeurs dans $\mathbb{R}$. Pour une fonction à valeurs dans $\mathbb{R}^n$, il suffit d'intégrer composante par composante.

Maintenant, pour une fonction à valeurs dans un espace vectoriel de dimension infinie, comment-est ce qu'on fait ?

Par exemple, soit un espace mesurable $\left(\mathcal{X},\mathcal{B}\right)$, et $\mathcal{M}$ l'espace vectoriel des mesures (signées) finies sur $\left(\mathcal{X},\mathcal{B}\right)$. Soit maintenant une variable aléatoire $X$ sur $\left(\mathcal{X},\mathcal{B}\right)$, de loi $\mu$. Notons $\delta_X$ la distribution empririque. Si je munis $\mathcal{M}$ d'une tribu (je dois pouvoir prendre par exemple la plus grande tribu rendant l'application "distribution empirique" mesurable, non ?), je viens de définir une variable aléatoire sur $\mathcal{M}$.
J'aimerai bien dire qu'en moyenne $\delta_X$ vaut $\mu$, mais comment est-ce qu'on définit proprement tout cela ?

Merci d'avance,
Adrien

Steven Neutral

Bonjour,
Pour une mesure aléatoire $\Lambda$, tu peux dire qu'elle vaut $\mu$ en moyenne si $\mathbb{E}\bigl[\Lambda(A)\bigr]=\mu(A)$ pour tout $A$ dans la tribu du contexte.

Askelad

Hmm, donc pour les mesures aléatoires, on passe par les représentations de ces mesures par des intégrales de fonctions pour éviter le problème, d'accord.

Il n'y a pas à ta connaissance de théorie générale de l'intégrale de Lebesgue pour les fonctions à valeurs dans un Banach, par exemple ?

Merci pour la réponse !

PS : Je demande juste par curiosité intellectuelle, vu qu'en fait je m'intéresse uniquement aux mesures aléatoires, ta réponse est tout à fait suffisante pour mes besoins.

egoroffski

Salut,

De mémoire il y a (au moins) deux théories pour l'intégrale des fonctions à valeurs dans un Banach $E$, définies sur un espace mesuré $(X,\mu)$.

- L'intégrale de Bochner, qui part des fonctions simples de la forme $\sum_{i=1}^n 1_{A_i} v_i$ avec $A_i \subset X$ et $v_i \in E$, définit l'intégrale de manière naturelles pour ces fonctions (je te laisse deviner ) et étend ensuite par approximation ; les fonction intégrables au sens de Bochner sont celles qui sont mesurables (fortement je crois) et qui peuvent être approchées par des fonctions simples au sens de la norme $\int ||f||_E \, d\mu$, l'intégrale étant alors la limite, etc.

- L'intégrale de Pettis, qui utilise la dualité : $f$ est intégrable au sens de Pettis si pour tout $\varphi \in E'$ l'intégrale (réelle) $I(\varphi) = \int_X \langle \varphi,f \rangle \, d\mu$ est définie, et dépend continûment de $\varphi$. Dans ce cas $I$ est un élément du bidual $E''$, qu'on peut parfois identifier à un élément de $E$ mais pas toujours, sauf si $E$ est réflexif. Ici on demande seulement la mesurabilité faible de $f$.

Les deux intégrales ont des propriétés différentes, et il y a de bonnes raisons de préférer l'une à l'autre selon les cas, mais j'ai tout oublié :-( Je pense qu'avec les noms tu as de quoi faire une recherche.

Askelad

Ok merci beaucoup, ça va se rajouter à ma liste de lecture !