une somme à calculer

Bonjour,

une petite somme à calculer :

Evaluer , à la main, si j'ose dire, la somme suivante S(n) :

S(n) = somme_{k=0..n} 2^(2k) * binomial(2n, 2k)*(2n-k+1)/(2n-2k+1).

Le résultat m'a un peu surpris.

bien cordialement

kolotoko

Réponses

  • $$S(n) = \sum_{k=0}^n 2^{2k} \times \binom {2n}{ 2k}\times\dfrac {2n-k+1}{2n-2k+1}$$Bonjour kolotoko,

    Il serait bon que tu te mettes au \LaTeX , tes messages seraient quand même plus lisibles ;).

    Amicalement. jacquot
  • Bonjour,

    On peut calculer cette somme avec la formule du binôme en écrivant:
    $(1+x)^{2n}+(1-x)^{2n}=2\displaystyle\sum_{k=0}^n{2n\choose 2k}x^{2k}$
    puis en intégrant:
    $(1+x)^{2n+1}-(1-x)^{2n+1}=2\displaystyle\sum_{k=0}^n{2n\choose 2k}\dfrac{2n+1}{2k+1}x^{2k+1}$.
    En posant $x=\dfrac12$ et en ajoutant la première égalité au double de la seconde on obtient:
    $\displaystyle\sum_{k=0}^n{2n\choose 2k}\dfrac{n+k+1}{2k+1}2^{2n-2k}=3^{2n}$ qui est la somme demandée (en changeant $k$ en $n-k$).
  • Bonjour,

    c'est bien le résultat que j'avais trouvé.

    bien cordialement

    kolotoko
  • (tu) Jandri ! J'arrivais au même résultat, mais c'est tellement plus beau comme ça en deux lignes.
  • Il y a même plus court:
    $(1+x)^{2n}=\displaystyle\sum_{k=0}^n{2n\choose 2k}x^{2k}+\displaystyle\sum_{k=0}^n{2n\choose 2k+1}x^{2k+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n{2n\choose 2k}x^{2k}\left(1+\dfrac{2n-2k}{2k+1}x\right)$.
    On pose $x=\dfrac12$ et on obtient le résultat (en changeant $k$ en $n-k$).

    On peut généraliser en remplaçant $n$ par $\dfrac n2$.
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