Convergence dans l'ensemble des suites

ainah1

Bonjour,
J'ai aidé aujourd'hui un élève de L3 dans ses révisions de topologie.
Il avait un exercice sur l'ensemble E des suites réelles, muni de la distance \[d((u_{n})(v_{n}))=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{2^{n}}inf(1,\left | u_{n}-v_{n} \right |)\]

on nous demande de prouver l'équivalence suivante : pour u une suite de E, \[u^{p}\underset{p\rightarrow \infty }{\rightarrow}u\Leftrightarrow \forall n\in \mathbb{N}, u_{n}^{p}\underset{p\rightarrow \infty }{\rightarrow}u_{n}\]

Pour faire la réciproque, son prof a fait tout un laïus, avec un passage obscur pour moi...
Alors qu'une chose me turlupine... si on a \[\forall n\in \mathbb{N}, u_{n}^{p}\underset{p\rightarrow \infty }{\rightarrow}u_{n}\], on a forcement u_n=1 ou 0 non? et dans ce cas, la suite (u_n^p) _p est constante et égale à u_n... ce qui fait qu'on a immédiatement \[u^{p}\underset{p\rightarrow \infty }{\rightarrow}u\] les deux suites étant égales...
à moins que je me plante complètement, ce qui est fort possible hein!
bref merci de vos lumières, si je me trompe et que j'ai loupé une subtilité, je reviendrai vers vous pour comprendre le passage obscur de la preuve du prof

ev

Bonsoir ainah.

J'ai bien peur que dans l'écriture $u_n^p$ l'exposant $p$ soit \ldots un indice !

Les éléments de $E$ sont des suites (indexées par $n$). On considère des suites de suites.

C'est mon interprétation de la chose.

e.v.

danielsaada

classique mais difficile : voir ici

ainah1

bigre je n'avais pas pensé une seule seconde à ça, et manifestement l'élève non plus, il n'a pas du comprendre la correction hein... bien... donc je vais re réfléchir et voir si je comprend le fameux passage obscur et je reviens vers vous! merci!

ainah1

merci pour ce document daniel saada. Justement, dans votre lien, on est dans le cas où les suites sont à valeurs dans [0,1], auquel cas je comprend sans souci la majoration de la deuxième partie de la somme et donc la suite de la démo. Mais ce n'est pas le cas dans mon exercice, et je ne comprend pas comment on peut dire qu'a partir d'un certain rang k, \[\left | u_{n}^{p} -u_{n}\right | \leqslant 1\].
je continue à cogiter

ainah1

au temps pour moi, c'est idiot... on peut évidemment majorer par 1 inf(1,quoi que ce soit).... j'ai honte...

francois51

tu es sûr que tu es en état d'aider un élève de L3 ?

ainah1

merci à tous pour vos réponses.
Et pierre castelli non pas toujours, et c'est d'un accord commun que je l'aide : si j'y arrive, tant mieux, si je coince ou si j'ai un doute, je l'admet en toute honnêteté. On travaille ensemble et si je n'arrive pas à lui expliquer un des exos qu'il n'a pas compris, j'y re réfléchi chez moi.

Héhéhé

Disons que ce fill donne plutôt l'impression que c'est un élève en train de galérer et qui invente une histoire de prof pour embellir l'image... ce qui provoque l'effet inverse.

ainah1

ah ok, non je n'invente pas de situation... je n'en verrai meme pas l'intérêt dans le cas présent...
j'aurais plutôt du dire que j'étais une élève ça m'aurait éviter de passer pour une tanche qui essaye d'en aider un autre sans avoir le niveau

bref, merci de votre aide