espace affine pour débutant

kronologic

Bonjour

tout d'abord je suis désolé pour la longueur du sujet de cette question et ensuite je remercie d'avance pour vos réponses

voilà en fait pour des raisons pratiques je désirerai utiliser la definition alternative ci-dessous d'un espace affine car je manque énormément d'automatismes contrairement à un étudiant et bien sûr dans la mesure que celle-ci soit correcte

étant autodidacte et loin de maitriser le language des ensembles cette definition me semblerai plus adaptée à ma situation un peu "spéciale"

cependant bien qu'étant à priori sûr de sa validité je ne suis pas en mesure du fait de mon niveau de certifier sa validité

cette définition en fait est construite sur un ensemble de 14 définitions

D1
une correspondance de A vers B se définie par un triplet $\ (\ \Gamma \ ,\ A\ ,\ B\ \ )$
où dans l'ordre $\ \Gamma \ $ se nomme le graphe de A vers B
A est l'ensemble de départ
B est l'ensemble d'arrivée

D2
un graphe $\ \Gamma $ de A vers B est une partie quelconque de $ A \times B$

D3
le domaine de definition d'un graphe $ \Gamma $ de A vers B est l'ensemble
$\{ x| x \in A $ et $ \exists y \in B$ tel que $(x,y) \in \Gamma \}$

D4
le domaine de d'application d'un graphe $ \Gamma $ de A vers B est l'ensemble
$\{ x| x \in \ B $ et $\exists y \in A$ tel que $(y,x) \in \Gamma \}$

D5
un graphe fonctionnel $ \Gamma $ de A vers B verifie
$\forall x \in A $ alors
soit uniquement $ \{y|y\ \in B$ et $(x,y) \in \Gamma\ \} = \varnothing$
soit uniquement $ \{y|y\ \in B$ et $(x,y) \in \Gamma \}$ est un singleton

D6
une application entre deux ensembles A et B est une correspondance de A vers B telle que le graphe $ \Gamma $ soit fonctionnel et tel que A est le domaine de definition de ce graphe

D7
une application est stable si et seulement si le domaine d'application du graphe de cette correspondance
est un singleton

D8
une application f de A vers B est une injection si et seulement si (en plus d'être une application donc)
$\forall (x,y)\in A^2 $ on a l'implication logique $( f(x)=f(y) ) => ( x=y )$

D9
une application f de A vers B est une surjection si et seulement si l'ensemble d'application de f est l'ensemble B

D10
une application f de A vers B est une bijection si et seulement si
cette application est à la fois une injection et une surjection

D11
la réciproque d'une bijection f de A vers B est elle même une bijection de B vers A notée $f^{-1}$
telle que $\forall x\in A $ on a l'équivallence logique $( f(x)=y ) <=> ( f^{-1}(y)=x )$

D12
un ensemble K possède une structure de groupe par la loi de composition + si et seulement si
d'une part la loi + est une application $x+y:K\times K ->K$
d'autre part $\forall x\in K $ et $\forall y\in K $ et $\forall z\in K $ alors
$(x+y)+z =x +(y+z) $ la loi + est associative
et enfin $\forall x\in K $ il existe $y \in K $ tel que $x+y = y+x = 0\in K $
0 est l'element neutre de la loi +

D13
un K espace vectoriel peut être noté $E_k^n$ est un ensemble dont les éléments sont appelés vecteurs généralement noté $\vec {V}\in E_k^n$
par ailleurs on considère l'ensemble K ensemble des scalaires du K-espace vectoriel $E_k^n$
cet ensemble est munie d'une structure particulière et de plus est tel qu'il existe une bijection $f:E_k^n->K^n$

En ce qui concerne sa structure l'ensemble K est un corps pas obligatoirement commutatif ce qui signifie:
K est munis de l'addition + et du produit . qui sont des applications $K \times K -> K $ munis respectivements des éléments neutres 0 et 1
de plus la loi + est un groupe commutatif et la loi . est un groupe (commutatif ou non ) dans l'ensemble K*
qui est l'ensemble K démunie de l'élément neutre 0 de l'addition
si la loi . est commutative alors ce corps est commutatif

par ailleurs n désigne la dimension de ce k-espace vectoriel

cet espace K-vectoriel $E_k^n$ est munie de la structure suivante

cet ensemble est munis du produit par un scalaire
il s'agit d'une application $\lambda .\vec {V}:K \times E_k^n -> E_k^n $

cet ensemble est munis de l'addition vectorielle
il s'agit d'une application $ \vec {V}+\vec {W}:E_k^n \times E_k^n -> E_k^n $

cet ensemble est munis du produit scalaire
il s'agit d'une application $ \vec {V}.\vec {W}:E_k^n \times E_k^n -> K$

on verifie

$\forall \vec {V} \in E_k^n $ et $\forall \vec {W} \in E_k^n $ alors

$\vec {V}+\vec {W}=\vec {W}+\vec {V} $ Commutativité de l'addition

$\forall \vec {V} \in E_k^n $ et $\forall \vec {W} \in E_k^n $ alors

$\vec {V}.\vec {W}=\vec {W}.\vec {V} $ Commutativité du produit scalaire

$\forall (\lambda _1,\lambda_2) \in K^2 $ et $\forall \vec {V} \in E_k^n $ alors

$(\lambda _1.\lambda_2).\vec {X}=\lambda _1.(\lambda_2 .\vec {X})$ associativité du produit par un scalaire par rapport au produit des scalaires

$\forall (\lambda _1,\lambda_2) \in K^2 $ et $\forall \vec {V} \in E_k^n $ alors

$(\lambda _1+\lambda_2).\vec {X}=(\lambda _1.\vec {X})+(\lambda_2 .\vec {X})$ distributivité du produit par un scalaire par rapport à l'addition des scalaires

$\forall \vec {V} \in E_k^n $ alors $1 . \vec {V} = \vec {V} $ élément neutre à gauche $\lambda =1$ du produit par un scalaire

$\forall \vec {V} \in E_k^n $ et $\forall \vec {W} \in E_k^n$ et $\forall \lambda \in K $ alors

$\lambda.(\vec {V}+\vec {W}) =(\lambda.\vec {V} )+(\lambda .\vec {W} )$ le produit par un scalaire est distributif par rapport à l'addition des vecteurs

$\forall \vec {V} \in E_k^n $ et $\forall \vec {W} \in E_k^n $ et $\forall \lambda \in K $ alors

$\lambda.(\vec {V}.\vec {W}) =(\lambda .\vec {V}).\vec {W} $ le produit par un scalaire est associatif par rapport au produit scalaire

$\forall \vec {X} \in E_k^n $ et $\forall \vec {Y} \in E_k^n $ et $\forall \vec {Z} \in E_k^n $ alors

$(\vec {X}+\vec {Y})+\vec {Z}=\vec {X}+(\vec {Y}+\vec {Z})$ associativité de l'addition

$\forall \vec {X} \in E_k^n $ et $\forall \vec {Y} \in E_k^n $ et $\forall \vec {Z} \in E_k^n $ alors

$(\vec {X}+\vec {Y}).\vec {Z}=(\vec {X}.\vec {Z})+(\vec {Y}.\vec {Z})$ le produit scalaire est distributif par rapport à l'addition des vecteurs

$\forall \vec {X} \in E_k^n $ alors $\vec {0} + \vec {X}=\vec {X} + \vec {0} = \vec {X}$

$\vec {0} $ est un élément neutre de l'addition

selon $-\vec {V}=(-1).\vec {V} \in E_k^n$ alors $\forall \vec {V} \in E_k^n $ on vérifie $\vec {V}-\vec {V}=\vec {0} $ et $-(-\vec {V})=\vec {V}$

$\forall \vec {V} \in E_k^n $ et $\forall \vec {W} \in E_k^n $ alors on vérifie l'équivallence logique

$-\vec {V}= -\vec {W} <=> \vec {V}= \vec {W} $

D14
un espace affine est un ensemble $\mathcal {A}$ muni d'une structure d'espace affine (decrite ci-dessous en D14.2) dont les éléments sont des points et des vecteurs
les vecteurs appartiennent à un k-espace vectoriel $E_k^n$
et les points appartiennent à un ensemble $\mathcal {E}$ tel que d'une part il existe une bijection $g:\mathcal {E}->K^n$

et d'autre part $\mathcal {E}$ est munie d'une structure definie par

D14.1
l'ensemble $\mathcal {E}$ est munis de l'addition vectorielle

il s'agit d'une application $ V+W:\mathcal {E} \times \mathcal {E} -> \mathcal {E} $

on verifie

$\forall V \in \mathcal {E} $ et $\forall W \in \mathcal {E} $ alors

$V+W = W+V $ Commutativité de l'addition

$\forall X \in \mathcal {E} $ et $\forall Y \in \mathcal {E} $ et $\forall Z\in \mathcal {E} $ alors

$(X+Y)+Z = X+(Y+Z)$ associativité de l'addition

$\forall X \in \mathcal {E} $ alors $0_n + X = X+0_n = X$

$0_n $ est l'élément neutre de l'addition

selon $-V \in \mathcal {E}$ est l'élément symétrique de $V \in \mathcal {E}$ par l'addition alors

$\forall V \in \mathcal {E} $ on vérifie $V-V = 0_n$ et $-(-V) = V $

$\forall V \in \mathcal {E} $ et $\forall W \in \mathcal {E} $ alors on vérifie l'équivallence logique

$ -V = -W <=> V = W$

D14.2
l'ensemble $\mathcal {A}$ muni d'une structure d'espace affine

en considérant les bijections $f:E_k^n->K^n$ et $g:\mathcal {E}->K^n$

avec leur réciproques respectives $f^{-1}:K^n->E_k^n$ et $g^{-1}:K^n ->\mathcal {E}$

cette structure d'espace affine est definie par deux applications

la première est une application $\vec {AB}:\mathcal {E}\times \mathcal {E}->E_k^n$ et définie par la relation

$\vec {AB}=f^{-1}(g(B-A))=f^{-1}(g(B)-g(A))=f^{-1}(g(B))-f^{-1}(g(A))$

la deuxième est une application $P+\vec {V}:\mathcal {E}\times E_k^n ->\mathcal {E}$ et définie par la relation

$P+\vec {V}=g^{-1}(g(P)+f(\vec {V}))=g^{-1}(g(P))+g^{-1}(f(\vec {V}))$

mister_jones

Je ne comprends pas bien ta démarche. Les dix premiers points sont là essentiellement pour redonner le vocabulaire de base sur les ensembles et fonctions (avec une distinction fonction/application qu'on rencontre quelque fois dans la littérature).

Ce que tu écris ressemble beaucoup aux définitions usuelles d'espace vectoriel et affine donc j'ai du mal à croire que tu ne puisses pas comprendre ces définitions.

Après, je n'ai pas lu dans le détail mais je trouve bizarre d'identifier un espace vectoriel avec $K^n$ (il n'y a pas de base privilégiée dans un espace vectoriel) et je trouve également bizarre de considérer qu'on a une addition sur les points d'un espace affine (cela revient à exhiber une bijection entre espace vectoriel et affine, et ça rend inintéressant la notion d'espace affine).

Sois peut-être plus précis sur ce que tu veux.

kronologic

[size=medium]Grandement merci Mister Jones pour ton aide précieuse pour moi[/size]

Je ne comprends pas bien ta démarche. Les dix
premiers points sont là essentiellement pour
redonner le vocabulaire de base sur les ensembles
et fonctions (avec une distinction
fonction/application qu'on rencontre quelque fois
dans la littérature).

Ce que tu écris ressemble beaucoup aux définitions
usuelles d'espace vectoriel et affine donc j'ai du
mal à croire que tu ne puisses pas comprendre ces
définitions.

eh bien le fait de l'écrire me rassure plus que de le lire d'un autre même si ça ressemble beaucoup
J'ai quitté l'école à seize ans il y a trente ans et de cela je souffre d'une rigidité mentale :S qui m'empêche de lire et de comprendre si je refais pas par moi même ...

Après, je n'ai pas lu dans le détail mais je
trouve bizarre d'identifier un espace vectoriel
avec $K^n$ (il n'y a pas de base privilégiée dans
un espace vectoriel)

non ici $K^n$ n'est pas une base
peut être en me citant dans les points précis sur lesquelles tu est réservé
car ce que tu dit est très difficile d'accès pour moi

et je trouve également
bizarre de considérer qu'on a une addition sur les
points d'un espace affine (cela revient à exhiber
une bijection entre espace vectoriel et affine, et
ça rend inintéressant la notion d'espace affine).
Sois peut-être plus précis sur ce que tu veux.

c'est tres difficile de te repondre mais en tout cas pour ce qui est de l'intérêt:
pour moi ce qui compte est de comprendre MENTALEMENT l'espace affine
parce que c'est pas une chose tres abordable or il se trouve que la description que j'en donne ici:

celle-ci est compréhensible pour moi (évidemment puisque je l'ai écrite)
mais je ne maitrise pas suffisamment pour voir autre chose que uniquement cette description

par exemple ici je ne parle pas de base d'un espace vectoriel ou autre chose que ce que je pense comme étant une definition D13 de l'espace vectoriel et D14 de l'espace affine en employant le minimum de concepts et ceux ci sont tous décrits dans les definitions D1 à D12

je te remercie encore une fois Mister Jones pour le temps que tu m'a consacré

kronologic

...par "comprendre mentalement l'espace affine" je veux dire le comprendre uniquement et uniquement seulement avec les definitions D1 à D12 sans autres concepts en dehors des six axiomes de Zermelo
qui à eux seuls en fait plus particulièrement l'axiome de spécification me nécessitent au total 10 pages format A4 pour les comprendre "mentalement" et ces dix pages sont le minimum de compréhension possible pour moi
et aussi le maximum de ce que je peut en comprendre à ce jour ::o

Il me reste à digerer les définitions D13 et D14 : c'est la raison de ce fil

en tout cas merci pour votre aide [size=medium]Mister Jones[/size]

poulbot

Bonsoir kronologic
on peut essayer de faire un peu moins abstrait pour définir un espace affine. Il suffit, pour cela, de savoir, étant donnés deux points $A$ et $B$ de l'espace, ce que va être le vecteur $\overrightarrow{AB}$.
Ainsi on a un ensemble $E$ (les points de l'espace affine), un espace vectoriel $\overrightarrow{E}$ (la direction de l'espace affine) et une application $\left( A,B\right) \in E^{2}\rightarrow \overrightarrow{AB}\in \overrightarrow{E}$ qui doit vérifier les deux propriétés suivantes :
$1)$ La relation de Chasles $\forall A,B,C\in E$ $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$
$2)$ Pour tout couple $\left( A,\overrightarrow{V}\right) \in E\times \overrightarrow{E}$, il existe un unique $B\in E$ pour lequel $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{V}$
Cordialement. Poulbot

kronologic

[size=medium]Sincèrement et grandement je te remercie Poulbot[/size]

mon problème est profond (mental) :

Je suis matérialiste et c'est ça mon problème : je redoute les notions abstraites

ce que j'ai besoin de savoir c'est vis à vis d'un étudiant ou d'un professionnel est si mes definitions D13 et D14 sont acceptables (en tout cas sans erreurs) même si elles sont inadéquates en géométrie justement

si je n'essaye pas d'être minimaliste et sans vouloir te faire rire j'ai peur que mes acquis en géometrie se perdent dans des intuitions d'ordre magiques et c'est là le problème pour les gens comme nous:
quand la mort viendra frapper à notre porte (en ce qui me concerne j'ai bien l'intention de vendre chèrement ma peau qui à ce jour est en excellente santé d'ailleurs-mais c'est pas une raison -) seul les notions abstraites pourront nous aider en ce qui nous concerne et je sens de plus en plus et cela grâce à vous tous mes amis, qu'avec moi elle devra vachement bien ruser si elle veux pas me fuire comme la peste

La géométrie en tant que telle ne me pose pas de problèmes particuliers en fait ou par exemple comprendre ce que peut signifier le rang d'une matrice dans un autre domaine et le rapport avec la géométrie que cela peut avoir

En tout cas sincèrement et grandement je te remercie Poulbot et aussi pour le temps que tu m'a consacré pour m'aider à survivre

kronologic

[size=medium]Mister Jones[/size]

mon manque de réactivité est bien en cause effectivement car je viens juste de comprendre ceci (en tout cas je pense avoir compris mais demain ce sera plus clair pour moi)

... de considérer qu'on a une addition sur les
points d'un espace affine (cela revient à exhiber
une bijection entre espace vectoriel et affine, et
ça rend inintéressant la notion d'espace affine).
Sois peut-être plus précis sur ce que tu veux.

oui demain j'essayerai de modifier le D14
il me semble que effectivement doter l'ensemble des points de l'addition est superflue puisque je passe par ma bijection $g:\mathcal {E}->K^n$

voici un cadeau pour vous [size=medium]Mister Jones[/size] & [size=medium]Poulbot[/size]
que vous comprendrez surement selon ce que j'ai dit précédemment

...quand la mort viendra frapper à notre porte (en ce qui me concerne j'ai bien l'intention de vendre chèrement ma peau qui à ce jour est en excellente santé d'ailleurs-mais c'est pas une raison -) seul les notions abstraites pourront nous aider en ce qui nous concerne et je sens de plus en plus et cela grâce à vous tous mes amis, qu'avec moi elle devra vachement bien ruser si elle veux pas me fuire comme la peste

Sachez que je vous suis redevable et ça chez moi, ça signifie quelque chose : cela signifie une dette envers vous tous et notamment envers vous

** modéré -- ceci n'est pas un forum de musique **

kronologic

** modéré -- ceci n'est pas un forum de musique **

kronologic

pour dire merci en ce qui me concerne je dit pas 1+1 =2
Monsieur ou Madame J.L.T.
moi je suis un humain et un cadeau est un cadeau !

[Modéré, ce forum n'est pas un forum de musique. Bruno]

pappus

Verse-nous ton poison pour qu'il nous réconforte !
Nous voulons, tant ce feu nous brûle le cerveau,
Plonger au fond du gouffre, Enfer ou Ciel, qu'importe ?
Au fond de l'Inconnu pour trouver du nouveau !

Amicalement
Pappus

kronologic

Bonjour Pappus
je n'avais que Marc Moulin
...et ce feu est parti dans les étoiles j'essayerai d'être à sa hauteur mais la hauteur d'une étoile dans le ciel moi pauvre scarabée rampant...
ça fait du bien des gens qui apprécient sa géométrie Pappus

[kronologic, tu insiste lourdement avec ta musique. Bruno]