Erreur ?

Saladin

Bonsoir

Il s'agit de l'exercice N° 7 de la série d'Algèbre N°2, 1° année de Maths Informatique.

Je voudrais savoir s'il n'y a pas d'erreur dans l'énoncé car je bute.


Soit E et F deux ensembles non vides.On suppose qu'il existe une application injective f de E vers F et une application injective g de F vers E.

On pose : G={ A dans P(E)/ g( C f(A) dans F) inclus dans( CA dans E)}

1) Montrer que G n'est pas vide : fait

2) Montrer que G admet un plus grand élément B (pour l'inclusion )

3) Montrer que g ( Cf(B) dans F ) non inclus dans (CB dans F)

4) Soit h l'application de E dans F définie par :

h(x)=f(x) si x appartient à B et h(x)= g-1( x) si x n'appartient pas à B

Montrer que h est bijective.

NB/ CA complémentaire de A dans

g-1: application réciproque de g ?



Merci beaucoup

JLT

Pour le 2), considérer B=la réunion de tous les ensembles appartenant à G.

L'énoncé du 3) n'a pas de sens car CB n'est pas inclus dans F, il est dans E. Et même si on remplace F par E dans l'énoncé, l'énoncé est faux car, puisque B appartient à G, on a g( C f(B) dans F) inclus dans CB dans E.

Saladin

Si G possède un plus grand élément,il est dans G et doit donc vérifier la propriété d'inclusion,ce qui est faux.?

On n'a pas encore étudié les réunions quelconques.


Merci infiniment

AitJoseph

Bonsoir

L'énoncé du professeur est erroné,je ne sais pas comment le corriger,il s'agit du Théorème de Cantor- Bernstein


http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Cantor-Bernstein

Bonne chance

JLT

De toute façon on peut toujours répondre à la question 4) sans passer par la question 3).

AitJoseph

Bonjour

Mais la question 4) n'est pas claire.


Cordialement

JLT

Pour la question 4)

i) Montrer que si x n'appartient pas à B alors x est dans l'image de g.

ii) Soit h l'application de E dans F définie par :

h(x)=f(x) si x appartient à B
et
h(x)= l'unique élément y tel que x=g(y) si x n'appartient pas à B.

Montrer que h est bijective.

AitJoseph

Mon cher JLT

Je crois que concernant B, c'est la borne supérieure ? puisque

3) Montrer que g ( Cf(B) dans F ) non inclus dans (CB dans F) a écrit:

Merci beaucoup

JLT

Relis mon message :

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,880067,880083#msg-880083

Il ne faut pas tenir compte de la question 3). Je ne sais pas quel est l'énoncé correct qu'avait en tête l'auteur de l'exercice.

AitJoseph

OK

Merci

AitJoseph

Bonsoir

Dans 3) CB dans E au lieu de CB dans F erreur de transcription

J'ai corrigé en haut : Non je ne peux plus modifier:)

Merci

AitJoseph

Bonsoir

Voilà