-u'' + u = f inégalité entre f et u

xavierdestev

Boujour,

Soit $f$ continue sur $[0,1]$ et $u$ solution de :

$-u'' + u = f $
$u'(0)=0, u'(1)=0$

Comment montrer que $u(x) \leq \max_{[0, 1]} f(x)$ ?

Merci d'avance.

Raymond Cordier

Bonjour.
Pris par d'autres soucis, j'ai gardé cette question sous le coude, mais comme personne n'y a répondu dans l'intervalle, voici mes remarques sur le sujet.
L'équation différentielle proposée est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, et l'on peut la résoudre par la méthode bien connue de variation des constantes, sans tenir compte de prime abord des conditions additionnellles. On trouve :
$u(x)=-\frac{1}{2}e^{x}\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt+\frac{1}{2}e^{-x}\int_{0}^{x}e^{t}f(t)dt+Ae^{x}+Be^{-x}$, où $A$ et $B$ sont des constantes.
D'où : $u^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}e^{x}\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt-\frac{1}{2}e^{-x}\int_{0}^{x}e^{t}f(t)dt+Ae^{x}-Be^{-x}$.
La condition additionnelle $u^{\prime }(0)=0$ implique $A=B$, et par suite, avec $C=2A$ :
$u(x)=-\int_{0}^{x}f(t)\sinh (x-t)dt+C\cosh x$,$u^{\prime }(x)=-\int_{0}^{x}f(t)\cosh (x-t)dt+C\sinh x$.
Pour en venir à l'inégalité demandée, je pense qu'il s'agit plutôt d'une inégalité entre valeurs absolues, comme :
$|u(x)| \leq M$, où : $M= \max_{x\in [0, 1]} |f(x)|$.
La constante $C$ est déterminée par : $u'(1)=0$. Avec les considérations précédentes, j'arrive seulement à : $|C| \leq M$, et : $\left| u(x)\right| \leq (2\cosh 1-1)M$. Peut-être ai-je loupé un tournant ...

Bonne journée, nonobstant la grisaille.
RC
09/10/2013

Déjà plus d'une feuille sèche
Parsème les gazons jaunis ;
Soir et matin, la brise est fraîche,
Hélas ! les beaux jours sont finis !

O.G.5

Bonjour

En prenant la formulation faible et la classique fonction test $(u-M)^+$
avec $M=\sup f$ il me semble qu'on aboutit.
Ou sinon, sans la formulation faible, il faut adapter la preuve du principe du maximum.

L'inégalité est effectivement $u(x)\leq \sup f(x)$, sans valeur absolue.
Et au final on a l'encadrement $\inf f \leq u(x)\leq \sup f$.

O.G.

Amtagpa

En fait, il suffit de montrer $f\ge 0\Rightarrow u\ge 0$, ce qui peut se faire avec la méthode d''O.G., mais aussi ici avec le calcul explicite de la solution comme l'a fait Raymond Cordier. Pour finir cette deuxième méthode, on détermine $C=\frac{\int_{0}^{1}f(t)\cosh (1-t)dt}{\sinh(1)}$ et on peut écrire pour $f\ge0$, $u(x)=(\mathrm{truc}\ge0)+\frac{e^x}2\bigl(\frac{e}{e-e^{-1}}\int_0^1 f(t)e^{-t}dt-\int_0^x f(t)e^{-t}dt\bigr)\ge0$. Sauf erreur.

Raymond Cordier

Désolé, je n'ai pas compris "formulation faible".

Amtagpa

En multipliant l'équation par $v\in H^1(]0,1[)$ et en intégrant par parties, on obtient $\int_0^1(u'v'+uv)\,dx=\int_0^1fv\,dx$ (formulation faible). Ensuite on peut prendre $v=u^-=\min(u,0)\leq0$ pour montrer $f\ge 0\Rightarrow u\ge 0$.

Raymond Cordier

Je ne vois pas ppurquoi convoquer l'artillerie lourde pour traiter un problème d'équation différentielle ordinaire, mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ...

O.G.5

Bonjour

Effectivement mais tout dépend aussi d'où vient l'exercice.
La méthode qui consiste à étudier la solution autour de son maximum
fonctionnne aussi ici, ne relève pas de l'artillerie lourde et s'adapte à des pbs
(toujours linéaires) éventuellement en dimension supérieure dont on ne sait pas calculer les solutions explicites.
C'est le principe du maximum.



O.G.

xavierdestev

Bonsoir,

Amtagpa, quel est rapport entre $f \geq 0 \implies u \geq 0$ et ce que je cherches à prouver?

Merci à Raymond Cordelier pour sa réponse très instructive.

En effet, comme le propose O.G, j'avais plutot dans l'idée de comprendre comment appliquer le principe du maximum.

Merci.

O.G.5

Bonsoir

Pour ta première question, le problème est linéaire et toute constante $C$ est solution de $-u''+u=C$.
En choisissant $C=\sup f$, si $u$ est solution de $-u''+u=f$ (+CL), on voit que $v=M-u$ vérifie
$v''+v\geq 0$ (+CL). D'où la suggestion d'Amtagpa.

Concernant la preuve du principe du maximum qui utilise l'EDO plutôt que la formulation faible
il faut faire attention car les conditions aux limites sont de type Neumann et pas Dirichlet.
Depuis j'ai jeté un oeil au livre de Brezis, les deux versions (Dirichlet homogène et Neumann homogène en dimension
1) sont traîtées via la méthode des troncatures de Stampacchia mais il y a aussi une remarque qui pourra
t'intéresser. Dans le cas Neumann comme le maximum peut être atteint en 0 ou 1 il faut prolonger
$u$ au delà du domaine pour pouvoir faire la preuve dite classique.

O.G.

xavierdestev

Bonjour,

Merci O.G.

Pour étudier la solution autour de son maximum, on peut utiliser un développement de Taylor dans ce cas?

Considérons la formulation varitionnelle.
Si je suis le raisonnement d'Amtagpa, Je prend $v=u^-=\min(u,0)\leq0$
alors $\int_0^1(u'v'+uv)\,dx=\int_0^1fv\,dx \leq0$.

Or soit $u'v'+uv = 0$ ou bien $(u')^2+(u)^2 = 0$.

Si $u'v'+uv = 0$, alors $u \geq 0$, ce que je voulais montrer.

Si $(u')^2+(u)^2 = 0$ alors clairement $u=0$, ce qui termine aussi la preuve.

Merci à Amtagpa pour cette preuve très simple.

N'aurait t'il pas fais une faute dans la formulation variationnelle car ce ne sont pas des conditions aux limites de Dirichlet?

O.G.5

Bonjour

avec un peu de retard.
Il faut faire attention avec $u^-$, là $\min(0,u)$ est plutôt négatif que positif.

Ensuite comme je ne comprends pas très bien ton argumentation,
il faut bien écrire l'équation sous forme faible et utiliser le fait
que $Du Dv= (Du)^2 \chi_{u<0}$ p.p. avec $v=\min(0,u)$.

Si tu disposes d'une bibliothèque (ou d'un accès internet) tu devrais pouvoir
regarder dans le Brezis. Grosso modo pour cette équation c'est très simple.
À la main (sans formulation faible) mais en utilisant le caractère $C^2$,
si $u$ admet un maximum en $x_0$ en un point intérieur à $[0,1]$,
on a $u''(x_0)\leq0 $ et par l'équation on a $u(x_0)=f(x_0)+u''(x_0)$.
Si le maximum est atteint sur la frontière il faut prolonger par symétrie (pour Neumann).

Pour la forme plus générale du principe du maximum, c'est aussi dans les livres
ou dans de nombreuses feuilles d'exercices.

O.G.

VladislavIII

Pour la curiosité : on peut même dire que si le max. (de $u- sup f$) est atteint au bord, alors il est strictement négatif ; car le contraire entrerait en contradiction avec le lemme de Hopf : c'est un résultat qui dit que si $Lu \geq 0$ avec L un opérateur elliptique à coeff. d'ordre $0$ positif ou nul (typiquement -u'' + u), alors un max positif ou nul de u atteint au bord implique une dérivée sortante strictement positive en ce point (et pas seulement positive ou nulle, ce qui est une CN d'optimalité classique).