équation différentielles -z' = t z + t^3

xavierdestev

Bonjour,

Quelles sont les solutions de l'équation différentielle:

$-z'(t) = z(t)t + t^3$

avec $z(0) = 1$

Merci d'avance.

Ga?

Trouver la solution générale de l'équa. diff. linéaire homogène, puis une solution particulière de l'équation complète (par variation de la constante, si on n'a pas d'idée plus brillante).

Ga?

Et si on est trop malin, on peut faire le changement de variable $t^2=u$.

jean lismonde

bonjour

par la méthode dite de la variation de la constante je trouve :

$Z = \frac{1 - t²}{2} + exp(\frac{1 - t²}{2})$

cordialement

Ga?

.. et tu te goures. Ca laissera à xavierdestev la possibilité de continuer à chercher, s'il n'a pas complètement disparu.

xavierdestev

Bonsoir,

Non je suis encore la, c'est juste que ca ne me dit pas grand-chose la méthode de variation de la constante Qu'est-ce que je suis sensé faire?

Merci.

Braun

Bonsoir,
1/ Tu reconnais une équation linéaire du premier ordre en $z$.
2/ Tu résous l'équation sans second membre~:
\[ z' + t\,z = 0 \]
Là, tous les moyens sont bons, personnellement je préconise la formule générale mais~\dots
3/ Tu cherches une solution particulière de l'équation avec second membre. Ici encore je ne finasserais pas et chercherais un polynôme de degré au plus égal à trois.
4/ Tu recolles les morceaux en tenant compte de la condition initiale.
Sur le sujet tu peux consulter sur le site de l'Iufm au paragraphe III sauf erreur.

Ga?

Pourquoi recoller les morceaux ? Il n'y a qu'un morceau.

xavierdestev

Merci pour vos réponses.

J'obtiens la solution : $z(t) = 2 - t^2 + \exp(-\frac{1}{2}t^2)$.

Je joins les calculs:

$z' = -tz$
$\frac{z'}{z} = -t$
$\ln z = - \frac{1}{2} t^2 + C$
$z= \exp(C) \exp(- \frac{1}{2} t^2)$
pour la solution générale de ll'équation homogène.

$z (t) = a t^2 + b t + c$
$z' (t) = 2 a t + b $
$-2a t - b = a t^3 + b t^2 + c t + t^3$
D'où
$a=-1$
$c+2a = 0 $
$b=0$
D'où la solution particulière $2 - t^2$.

Ga?

Que fais-tu de la condition initiale?
Tu as oublié une constante dans la solution générale de l'équation homogène.
" la solution générale de la solution particulière" : curieux comme expression, non ?

xavierdestev

Je ne peux pas prendre $\exp(C) = -1$ donc dois-je en déduire que cette équation n'a pas de solutions?

Ga?

Un peu de bon sens ! Tu penses vraiment que les seules solution de $z'+tz=0$ sont les $z=k\,\exp(-t^2/2)$ avec $k>0$ ? Ça ne va pas marcher avec $k$ réel quelconque ?
Remarque qu'une primitive de $z'/z$ est $\ln(|z|)$.

[Pour faire Ç , taper Alt+128. jacquot]