Série de fonctions

Chers amis,

J'ai les idées trop embrumées pour trouver une réponse élémentaire (grosso modo, niveau L1/L2) au problème suivant :
On considère la fonction $f$ définie par $\displaystyle f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\left(\frac{1}{e^{nx}-1}-\frac{1}{nx}\right)$ pour $x > 0$ et prolongée par continuité en $0$.
Montrer que ce prolongement est en fait $\mathcal{C}^\infty$ en $0$.
Je suis pourtant persuadé que ça n'est pas très difficile...

Réponses

  • Je n'ai pas l'impression que ça se prolonge par continuité en $0$, déjà :
    En notant $f_n(x) = \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{1}{e^{nx}-1}-\dfrac{1}{nx}\right)$, on a $f_n(x) < 0$ pour tout $x>0$. Donc, pour tout $N\geqslant 1$ et pour tout $x>0$ : $\displaystyle f(x)\leqslant \sum_{n=1}^N f_n(x)$. En imaginant que $f$ se prolonge par continuité, on aurait alors, en passant à la limite quand $x$ tend vers $0$ : $f(0)\leqslant \displaystyle\sum_{n=1}^N \dfrac{-1}{2n}$, ce qui est absurde (faire tendre $N$ vers $+\infty$).
  • Oui tu as raison en fait c'est équivalent à $\frac{1}{2}\log x$ pour $x \to 0$ !
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