Exercice théorie des groupes

Judoboy

Salut à tous, voici un exercice (le 3.15) que j'ai trouvé dans le Tauvel "Corps commutatifs et théorie de Galois", et je bloque dessus :

Si n est un entier naturel, et phi(n) la fonction caractéristique d'Euler, montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) tout groupe d'ordre n est cyclique

(ii) n est premier avec phi(n).


J'ai pas trouvé grand-chose pour l'instant, tout ce que je peux dire c'est que si on a (ii), alors n est impair et n'a pas de facteur premier apparaissant à une puissance supérieure à 1, du coup si G est abélien on peut conclure avec le théorème de Cauchy mais je sais pas si on peut montrer facilement que G est abélien.

Si on a (i) je vois pas ce qu'on peut dire d'autre que "n n'a pas de facteur premier apparaissant à une puissance supérieure à 1".

Siméon

As-tu regardé ce qui se passe pour $n = 15$ ou $n = 33$ ?

AD

Bonjour Judoboy
Il y a un certain temps déjà, il y avait eu cette discussion http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,91235,91235#msg-91235
qui pointait sur une solution du sens difficile, dans fr.sci.maths https://groups.google.com/forum/?hl=fr&fromgroups#!topic/fr.sci.maths/2ex0S0cx1KI (voir poste de Gaetan Chenevier)
Alain

Siméon

Pour le sens plus facile $(i) \implies (ii)$, on peut raisonner par contraposée en supposant que $n$ et $\phi(n)$ ont un facteur premier commun. Disons $p$. Il n'y a que deux cas dans lesquels ceci peut apparaître (le vérifier) :

Cas 1 : $n = p^2 m$.
Alors $\Bbb Z/p\Bbb Z \times \Bbb Z/p\Bbb Z$ n'est pas cyclique (c'est clair ? tout élément est d'ordre divisant $p$) et donc $ (\Bbb Z/p\Bbb Z)^2 \times \Bbb Z/m\Bbb Z$ non plus.

Cas 2 : $n = pqm$ avec $q$ premier tel que $p$ divise $q-1$.
On peut alors construire un produit semi-direct $\Bbb Z/p\Bbb Z \rtimes \Bbb Z/q\Bbb Z$ qui ne soit pas cyclique (classique).
Comme précédemment $ (\Bbb Z/p\Bbb Z \rtimes \Bbb Z/q\Bbb Z)\times \Bbb Z/m\Bbb Z$ donne un contre-exemple d'ordre $n$.

enonce

Je ne sais pas si cela avait été signalé en son temps, mais une solution est également proposée dans le livre de Francinou \& Gianella, {\it Exercices de Mathématiques pour l'Agrégation - Algèbre} 1, Masson, 1994, Exercice 1.20 page 30.

Judoboy

Ok, merci pour les réponses ; Siméon est-ce que tu peux expliquer comment construire ce produit semi-direct ? Je vois pas trop...

Siméon

Oui bien sûr. Il suffit de prendre une action non triviale de $\Bbb Z/p\Bbb Z$ sur $\Bbb Z/q\Bbb Z$ par automorphismes : c'est juste un gros mot pour dire qu'on prend un élément $\omega \in (\Bbb Z/q\Bbb Z)^*$ d'ordre $p$. Je rappelle que $(\Bbb Z/q\Bbb Z)^*$ est cyclique d'ordre $q-1$ donc l'existence d'un tel $\omega$ découle de l'hypothèse $p \mid q-1$. L'opération considérée est alors
$$\begin{array}{ccc}
\Bbb Z/p\Bbb Z \times \Bbb Z/q\Bbb Z & \longrightarrow & \Bbb Z/q\Bbb Z\\
([a],x) & \longmapsto & [a]\cdot x = \omega^a x
\end{array}.
$$
Tu définis alors une loi de groupe sur $\Bbb Z/p\Bbb Z \times \Bbb Z/q\Bbb Z $ par $([a],x) * (,y) = ([a]+,x+ [a]\cdot y) = ([a]+,x + \omega^a y)$.

Judoboy

Bon le produit semi-direct ça m'inspire pas du tout, je vais regarder dans un cours d'algèbre ce que c'est plus précisément mais j'ai jamais trop compris à quoi ça servait.

Merci pour vos réponses en tout cas.

Siméon

Je crois me souvenir que le cours de Perrin est bien pour expliquer les produits semi-directs avec le point de vue reconstruction, notamment quand on se donne une suite exacte courte scindée.

Dans mon message précédent, c'était plutôt le point de vue construction qui importait : définir des lois de groupe sur le produit cartésien ensembliste de deux groupes. Cet exemple a l'avantage d'être très explicite, ce qui tient seulement au fait que la structure des automorphismes de $\Bbb Z/q\Bbb Z$ se décrit facilement.