matrice

Bonjour,

Trouver les matrices carrées 3x3 M vérifiant : M = M^3 = M^5 = M^7 = ... = M^n , n impair .

Donner une interprétation géométrique de cela.

bien cordialement

kolotoko

Réponses

  • Bonjour

    Sais-tu des choses sur les polynômes annulateurs?

    Tu pourrais distinguer les cas $M$ inversible ou pas...
  • Bonjour,

    non , je n'y connais pas grand-chose .

    quelle est la (ou les) formule(s) des matrices M ?

    bien cordialement

    kolotoko
  • Tu sais déjà que $M(M^2-I)=0$. Qu'en tires-tu si $M$ est inversible?
  • Remarque : $M=M^3=M^5=\cdots$ est équivalent à $M=M^3$, qui équivaut à $M(M-I)(M+I)=0$.
  • Bonjour,

    je me demande comment sont agencés les coefficients des matrices M vérifiant M = M^3 = M^5 = ....

    M n'est pas forcément inversible.

    bien cordialement

    kolotoko
  • Comme $M(M-I)(M+I)=0$, le polynôme minimal de $M$ divise $X(X-1)(X+1)$. Ce polynôme est scindé simple, donc $M$ est diagonalisable et ses valeurs propres appartiennent à $\{0,1,-1\}$. Les solutions sont donc :

    1) $M=P\mathrm{diag}(0,1,-1)P^{-1}$ composée d'une projection sur un plan et d'une symétrie axiale de ce plan.

    2) $M$ est un projecteur.

    3) $-M$ est un projecteur.

    4) $M$ est une symétrie.
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