ensembles bijectifs ?

tactactac

Bonjour,

connaissez-vous un exemple de deux ensembles finis $A$ et $B$ qui ont même cardinaux, mais qui ne sont pas bijectifs ?

Ou bien $\mathrm{card}\,A=\mathrm{card}\,B$ implique-t-il toujours l'existence d'une bijection entre $A$ et $B$ ?

Merci

Braun

Bonjour,
Question 1, comment définis-tu le cardinal?
Question 2, la composée de deux bijections n'est-elle pas une bijection?
Alors?

tactactac0

Plus clairement,

J'ai un ensemble d'ensembles particuliers de la forme $\{(x,y,z)\}$ où $(x,y)$ est appartient à un ensemble $S$.
$S$ appartient à une famille d'ensembles que l'on peut compter.
Dès que l'on possède un couple $(x,y)$, alors on sait que $z$ appartient à un intervalle déterminé par la connaissance de $(x,y)$.
Je souhaiterais montrer que le nombre d'ensembles du type $\{(x,y,z)\}$ est inférieur au nombre d'ensembles du type $S$, ou inférieur à un facteur près ...

Merci

bisam

Il va vraiment falloir que tu formalises et que tu quantifies tout cela car, là, c'est vraiment brouillon... et c'est donc impossible de t'aiguiller.
Cependant, la réponse sera sûrement très simple une fois que tu auras mis les choses au clair !

Philippe Malot

Bonjour,

On ne dit pas des ensembles bijectifs, mais équipotents. Cela signifie qu'il existe une bijection de l'un dans l'autre.
Dans les cas des ensembles finis, des ensembles équipotents ont exactement le même nombre d'éléments.

tactactac0

Autre question :

est-ce-que si $|A| \leq |B|$ alors est-ce-qu'il existe nécessairement une surjection de $B$ vers $A$ ou avze-vous un contre-exemple ?

Merci

chamath

Bonjour excuse moi Tactactac
tu emploie des valeurs absolues pour parler du cardinal d'ensembles?

$|A| \leq |B|$

sinon pour deux ensembles A et B non nuls et finis :
on sait qu'ils ont mêmes quantité d'éléments si l'on peut construire une bijection entre eux
et c'est pour ça et uniquement pour ça qu'on le sait

si c'est pas le cas alors on dira que l'ensemble A possède plus d'éléments que B si :
on peut construire une surjection de A vers B alors qu'une bijection est impossible
et c'est uniquement pour ça que le sait

et encore une fois pour deux ensembles A et B non nuls et finis

Braun

Bonsoir,
Il me semble qu'utiliser une bijection de $A$, resp $B$, sur une section commençante de $\mathbb{N}$ ou $\mathbb{N}^{*}$ devrait faire avancer le schmilblick.

chamath

oui Braun
pour faciliter la lecture on posera
$A=\N_p\ =\ \{0,1,2,...,p\}\ $ avec $\ p \in \N\ $ OU BIEN $\ A=\N_p^*\ =\ \{1,2,...,p\} $ avec $\ p \in \N^*\ $
$B=\N_q\ =\ \{0,1,2,...,q\}\ $ $\ q \in \N\ $ OU BIEN $\ B=\N_q^*\ =\ \{1,2,...,q\} $ avec $\ q \in \N^*\ $

Tactactac pourrait tu me donner un exemple concret (ça a l'air pas mal ton fil vu comme ça mais bon ...) de ce que tu désire car j'ai pas trop compris
quand tu dit que l'on peut compter j'ai compris ensembles finis
(sans toutefois croire que je suis capable de t'aider mon niveau étant somme toute assez faible)

J'ai un ensemble d'ensembles particuliers de la forme $\{(x,y,z)\}$ où $(x,y)$ est appartient à un ensemble $S$.
$S$ appartient à une famille d'ensembles que l'on peut compter.
Dès que l'on possède un couple $(x,y)$, alors on sait que $z$ appartient à un intervalle déterminé par la connaissance de $(x,y)$.
Je souhaiterais montrer que le nombre d'ensembles du type $\{(x,y,z)\}$ est inférieur au nombre d'ensembles du type $S$, ou inférieur à un facteur près ...

sinon pour le reste et au cas où je sèche je te laisse ça ...
pour A et B non nuls et finis(je précise)

N'oublie pas que c'est la possibilité d'une bijection entre A et B qui COMMANDE l'égalitée card(A)=card(B)

et que c'est l'impossibilitée d'une bijection entre A et B et la possibilitée d'une surjection entre A et B qui COMMANDE l'inégalitée card(A)>card(B)

bon courage

bisam

tactactac, tu poses beaucoup de questions, mais tu ne réponds jamais à celles qu'on te pose, que ce soit pour t'aider à clarifier ou pour nous permettre de mieux comprendre.
Cela ressemble de plus en plus à un dialogue de sourds !

tactactac0

Merci à vous

en fait, ma question est inverse , ou peut-être, j'ai mal compris :

est-ce-que le fait que $card A\leq card B$ entraîne toujours l'existence d'une surjection de B vers A ?

chamath

Re-bonjour Tactactac
excuse moi deux questions
1)qui commande qui?
peux tu relire la petite aide en fin de mon post?
2)dans ton exposé je suppose que tes deux ensembles sont non nuls et finis non?
même si ça à l'air bête de le dire il faut quand même que tu le dise

chamath

autrement Tactactac pour t'aider(franchement il a l'air bien ton fil même si je l'ai pas compris et que je te demande pas non plus de me l'expliquer car c'est à toi )
fait des dessins ->

et puis il y a la question 2) de Braun
A et B étant finis et NON NULS

pour la premiere question
prend un papier et un stylo n'hésite pas à dessiner 1er schéma :deux "patates" avec ton application f:A->B

2eme schéma et deux autres "patates" avec ta relation qui peut ne pas être une fonction et donc encore moins une application $f^{-1}:B->A$

que constate tu?

pour la seconde question : ton application f:A->B et g:B-> C avec f et g sont deux bijections
il te demande si h:A->C est une bijection
avec h(a)=g(f(a))=c avec a est dans A et c est dans C

dessiner c'est important pour moi car il faut visualiser

Braun

Quoi c'est un ensemble nul? :S

tactactac0

bonsoir, oui les deux questions de Braun, j'ai pu les résoudre

par contre, je suis encore bloqué avec ma dernière question :

Et en effet, je précise que A et B sont finis comme précisé par chamaths :


est-ce-que le fait que $card A\leq card B$ entraîne toujours l'existence d'une surjection de B vers A ?

chamath

Braun
j'espere que si Tactatac répond il me dira texto
A et B sont non nuls et finis

car en fait ça fait plusieurs post que j'attend

Braun ma réponse
mais j'aimerai bien que Tactactac me dise oui je suis d'accord parce que non je suis pas d'accord parce que mais bon...moi je suis qu'un chat après tout...

A est nul si et seulement si P(A) est un singleton

P(A) est l'ensemble de toutes les parties de A

où pour tout ensemble A alors il existe un ensemble P(A) tel que quelque soit x est un element de P(A) alors x est inclus dans A et quelque soit x est inclus dans A alors x est un element de P(A)

Braun

Autrement dit, si $\mathcal{S}_A$ et $\mathcal{S}_B$ sont des sections commençantes de \dots ~ vérifiant $\mathcal{S}_A \subseteq \mathcal{S}_B$, peut on trouver une surjection de $\mathcal{S}_B$ sur $\mathcal{S}_A$~?
P.S. Ce message ne tient pas compte de la réponse de chamath postée pendant que je rédigeais (lentement).

chamath

Bonsoir Tactactac excuse moi
je comprend rien
pourquoi tu n'arrive pas à savoir la reponse puisque la reponse est là:

pour A et B non nuls et finis

N'oublie pas que c'est la possibilité d'une bijection entre A et B qui COMMANDE l'égalitée card(A)=card(B)

et que c'est l'impossibilitée d'une bijection entre A et B et la possibilitée d'une surjection entre A et B qui COMMANDE l'inégalitée card(A)>card(B)

sinon donc tu confirme A et B sont non nuls?
ok!

tactactac0

Bonjour si $card B <= card A$,

concrètement,

que peut-on prendre comme surjection de A vers B ?

Existe-t-elle toujours ? et surtout pourquoi ?

merci

Braun

N'as tu pas l'impression de tourner en rond, une fois~?
Nous supposons donc maintenant $1 \leq {\rm card}( \leq {\rm card}( A)$.
Une bijection de $A$ sur $\mathcal{S}_A$, une bijection de $\mathcal{S}_B$ sur $B$~\dots
Il reste à expliciter une surjection de $\mathcal{S}_A$ sur $\mathcal{S}_B$.
Dans le cas où par hasard on aurait $\rm card}( = 0$ il faudrait peut être jouer un peu sur les propriétés du vide, je laisse le débat ouvert.
P.S. tu pourras aussi vérifier tes connaissances sur les propriétés de la loi de composition des bijections, injections, surjections et autres applications

Rescassol

Bonjour,

Si $A$ et $B$ sont des ensembles quelconques, non nécessairement finis, "il existe une bijection de $A$ vers $B$" est une relation d'équivalence dans la catégorie des ensembles. Deux ensembles équivalents par cette relation sont dit équipotents. La classe d'équivalence d'un ensemble $A$ s'appelle $card(A)$.
Donc, par définition, si $A$ et $B$ ont même cardinal, il existe une bijection de $A$ vers $B$.
Dans le cas particulier d'ensembles finis on peut noter $A=\{a_i\} _{1 \leq i \leq n}$ et $B=\{b_j\} _{1 \leq j \leq m}$.
Alors, si $n<m$, il existe une injection de $A$ vers $B$, par exemple $f(a_i)= b_i$ pour $1 \leq i \leq n$.
Et si $n>m$, il existe une surjection de $A$ vers $B$, par exemple $f(a_i)= b_i$ pour $1 \leq i \leq m$ et $f(a_i)= b_m$ pour $m+1 \leq i \leq n$.

Cordialement,

Rescassol

tactactac0

Merci à vous