Inversion d'une hyperbole vue comme cercle

Bonjour,
je considère deux hyperboles de même centre et de même asymptotes. Je définis une forme quadratique pour que ces hyperboles soient des cercles pseudo-unitaires. Je redéfinis la notion d'inversion à l'aide de cette forme quadratique. Ainsi, l'image d'un cercle est un cercle (en euclidien, on obtient une hyperbole image d'une hyperbole).

Pourquoi les hyperboles images n'ont plus les mêmes asymptotes (ces dernières sont parallèles) ?

Je mets un pdf avec plus de détails.

Merci d'avance à toute personne qui me répondra.

Lionel

Ps : en euclidien, en utilisant des courbes de Bézier rationnelles quadratiques avec des points de contrôle massiques,(un vecteur de poids nul ou un point pondéré de poids non nul) la première hyperbole est définie par le points massque $\left( \overrightarrow{W_0},0\right)$, $\left ({Q_1},1\right)$, $\left (\overrightarrow{W_2},0\right)$ où $\overrightarrow{W_0}$ et $\overrightarrow{W_2}$ sont deux vecteurs directeurs de même norme de chacune des asymptotes et $Q_1$ est le centre de l'hyperbole. Ainsi, les deux hyperboles définies par les courbes de Bézier dont les points massiques de contrôles sont $\left (\overrightarrow{W_0},0\right)$, $\left( {Q_1},1\right)$, $\left (\overrightarrow{W_2},0\right)$ d'une part et $\left (\overrightarrow{W_0},0\right)$, $\left ({Q_1},1\right)$, $\left (-\overrightarrow{W_2},0\right)$ ont même centre et mêmes asymptotes. De plus, elles ont en commun le point massique $\left( \overrightarrow{W_0},0\right)$,

Réponses

  • Bonjour Lionel.

    Je ne sais pas jusqu'où on peut pousser le parallèle, mais a priori, les asymptotes des courbes images ne sont pas les images des asymptotes ; du moins dans le cas euclidien classique puisque les droites ne passant pas par le pôle ont pour image des cercles.

    Bruno
  • Mon cher lionel
    En mélangeant cercles et hyperboles, on y comprend plus rien!
    Visiblement tu travailles dans un plan affine muni d'une forme quadratique de signature (1,1).
    Ce n'est donc pas un plan euclidien.
    Dans ce cadre précis, tu peux définir les applications que tu désires mais de grâce, ne les appelle plus inversions.
    Et je doute que l'image d'une hyperbole soit en général une hyperbole!
    C'est un peu comme si tu disais, l'inversion transforme un cercle en un cercle.
    Or un cercle est une ellipse donc l'inversion transforme une ellipse en un ellipse!
    Enfin deux hyperboles ayant les mêmes asymptotes et un point commun sont identiques.
    Amicalement
    Pappus
  • Salut Bruno,
    ce qui est rigolo, c'est que l'union des deux asymptotes est un cercle de centre O et de rayon nul. Les asymptotes images sont parallèles aux asymptotes de départ mais leurs pentes sont échangés : on retrouve que l'image d'un cercle qui ne passe pas par le pôle est un cercle.

    Le droite a double statut : droite et arc de cercle .
    De plus, la droite orthogonale à une des asymptotes de départ est elle-même.

    J'ai un algorithme qui permet de tracer l'image d'une demi-hyperbole quand la droite $O\Omega$ coupe l'hyperbole : je pensais utiliser l'autre hyperbole (même centre et mêmes asymptotes) et leur dualité, mais ça ne marche pas.

    Lionel
  • Salut Pappus,
    j'utilise la même formule que d'habitude, je remplace simplement le produit scalaire par la forme bilinéaire symétrique définie de signature (1;1). L'hyperbole de demi-axes $a$ et $b$ est bien un cercle unitaire. Si le pôle de l'inversion n'est pas sur l'hyperbole (euh, le cercle), l'image est bien une hyperbole de demi-axes $a'$ et $b'$, proportionnels respectivement à $a$ et $b$.

    J'ai fait la même chose avec l'ellipse, tout marche bien : l'ellipse de demi-axes $a$ et $b$ et aussi un cercle unitaire avec la bonne forme quadratique.

    Lionel
  • Mon cher lionel
    Voici une figure montrant dans le plan affine une conique $\Gamma$, ici en l'occurrence une ellipse mais cela aurait pu être une hyperbole ou une parabole.

    file.php?8,file=29349


    Qu'appelle-tu "inversion" par rapport à $\Gamma$, qui serait, je le suppose, une application involutive, notée $f$, dont $\Gamma$ serait l'ensemble des points fixes?
    Concrètement étant donné un point $M$ du plan, où se trouve le point $M' = f(M)$?
    Amicalement
    Pappus29349
  • Pappus,
    soit $M'$ l'image de $M$ par l'inversion de pôle $\Omega$ et de rapport $k$ dans le plan affine muni de la forme quadratique définie $q$, et de forme bilinéaire associée $b$. Alors, si $\overrightarrow{\Omega M}$ n'est pas un vecteur isotrope, $M'$ est l'unique point aligné avec $M$ et $\Omega$ vérifiant :
    $$b\left (\overrightarrow{\Omega M'} ; \overrightarrow{\Omega M}\right )=k$$ ou encore :
    $$\overrightarrow{\Omega M'}=\displaystyle \frac{k}{q\left (\overrightarrow{\Omega M}\right )} \overrightarrow{\Omega M} $$

    Si $q$ est la forme quadratique euclidienne usuelle, on retrouve la définition que tout le monde connaît.

    Lionel
  • Mon cher lionel
    J'ai bien compris ta définition analytique.
    Ce que je te demande, c'est comment elle se traduit géométriquement sur la figure!
    Autrement dit comment est placé le point $M'=f(M)$ par rapport à la conique et au point $M$?
    Amicalement
    Pappus
  • Bonjour Pappus, désolé de na pas avoir répondu plus vite.

    En fait, au départ, j'ai forcément une ellipse ou une hyperbole (si je peux me permettre, ton exemple est dans le plan projectif et non dans le plan affine) dans le plan euclidien (je dois connaître les demi-axes).
    Pour cette ellipse donnée, je construis ma forme quadratique qui me permet de la voir comme un cercle de centre$O$.

    Ensuite, je construis le point $H$ intersection entre $(OM)$ et l'ellipse : la longueur $OH$ vaut $1$. Si le rapport de l'inversion $k$ est positif, le point $M'$ est le point de $(OM)$ vérifiant : $OM'=\displaystyle \frac{k}{OM}$ (je note la distance de façon usuelle pour alléger l'écriture).

    Dans la figure ci-jointe, le pôle de l'inversion est $\Omega$. On a :
    $$\Omega Q_0=\displaystyle \frac{1}{\Omega P_0}$$ et $$\Omega Q_2=\displaystyle \frac{1}{\Omega P_2}$$

    Sur une autre droite, on a $$\Omega Q_1=\displaystyle \frac{1}{\Omega R_1}$$ où $R_1$ est la seconde intersection entre la droite $(P_1 \Omega)$ et l'ellipse.

    En espérant avoir répondu à ta question.

    Lionel
    29378
  • Mon cher lionel
    Malgré toute ma bonne volonté, je ne comprends pas ce que tu racontes.
    Oublie un instant les courbes de Bézier et concentre toi sur la définition de l'inversion telle que tu l'entends!
    C'est une transformation du plan que je note $f$.
    Il faut me dire clairement comment tu construis le point $f(M)$ à partir du point $M$.
    Je veux bien croire que dans la définition de $f$ intervienne une conique mais tu ne m'en rajoutes pas d'autres s'il te plait!
    On verra peut-être ensuite comment $f$ transforme une conique mais si et seulement si tu m'expliques clairement ta définition de ton "inversion".
    Quelles sont précisément les données de départ, le cadre géométrique, etc..?
    Amicalement
    Pappus
  • Bonjour Pappus,
    Ma définition de la construction de $M'$, image de $M$ par l'inversion de pôle $\Omega$ et de rapport $k$ est donnée plus haut : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,863141,863182#msg-863182
    Lionel
  • Mon cher lionel
    Encore une fois, je me fiche pour le moment des courbes de Bézier ou de savoir si une conique est transformée en une conique par ce que tu appelles une inversion!
    Je me préoccupe seulement de comprendre la définition de tes inversions.
    Alors puisque tu ne veux pas me dire exactement ce que sont les données, je vais essayer de les deviner à ta place.
    Tout d'abord on travaille dans le plan euclidien!
    Dans ce plan, on se donne une conique $\Gamma$ et j'entresuperpose qu'elle doive avoir un centre $O$.
    Sur ma figure, j'ai choisi une ellipse rapportée à ses axes et donc d'équation:
    $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$.
    Je me suis donné le point $\Omega(u,v)$ qui devrait être le pôle d'inversion puisque tu dis qu'il y en a un!
    Je me donne un réel $k \ne 0$
    Enfin, je me donne le point $M(x,y)$.
    Quelles sont les formules donnant les coordonnées $(x',y')$ du point $M' = f(M)$?
    $x' = ?$, $y'= ?$
    Amicalement
    Pappus
  • Bonjour Pappus,
    je n'avais pas compris que tu voulais l'expression analytique.

    On a $\overrightarrow{\Omega M} = (x-u) \overrightarrow{ \imath } + (y-v) \overrightarrow{ \jmath }$ d'où :
    $$ q\left(\overrightarrow{\Omega M} \right)= \displaystyle \left ( \frac{x-u}{a} \right )^2+ \left ( \frac{y-v}{b} \right )^2 $$ ce qui conduit à :
    $$ x' = \displaystyle \frac{k}{ \displaystyle \left ( \frac{x-u}{a} \right )^2+ \left ( \frac{y-v}{b} \right )^2} (x-u) +u $$ et :
    $$ y' = \displaystyle \frac{k}{ \displaystyle \left ( \frac{x-u}{a} \right )^2+ \left ( \frac{y-v}{b} \right )^2} (y-v) +v $$

    Lionel
  • Mon cher Lionel
    OK!
    Maintenant ta définition me parait bien compliquée!
    Il ne sert à rien de supposer l'espace euclidien.
    Tout ce dont on a besoin, c'est d'un plan affine réel $E$ dont l'espace vectoriel associé est noté $\overrightarrow E$ comme d'habitude, d'une forme quadratique $q$ non dégénérée définie sur $\overrightarrow E$ et d'un réel $k\ne 0$.
    Puis tu définis ton application comme tu l'as fait par la formule:
    $$\overrightarrow{\Omega M'}=\displaystyle \frac{k}{q\left (\overrightarrow{\Omega M}\right )} \overrightarrow{\Omega M} $$ .

    On peut donc supposer $q$ soit définie positive soit de signature $(1,1)$.
    Dans le premier cas, le plan $(E,q)$ est euclidien et on retombe sur les inversions habituelles.
    Dans le second cas, le plan $(E,q)$ est dit artinien ou hyperbolique, (je ne sais pas trop, à vérifier donc!) et effectivement tes "inversions" présentent une petite nouveauté.
    Elles ne sont pas définies sur les isotropes issues du pôle d'inversion.
    Quant aux courbes $\{M;\ q(\overrightarrow{OM}) = Cte}\}$, tu peux les appeler "cercles" si cela te chante mais comme ce sont des hyperboles, je ne vois pas ce que cela te rapporte!
    Tu n'as donc pas de construction précise du point image $M' = f(M)$ à nous proposer et toutes tes figures sont faites par le calculateur du logiciel de géométrie dynamique dont tu disposes.
    Je ne vois pas très bien à quoi tes inversions peuvent servir dans tes courbes de Bézier! Ce serait plutôt à toi de nous le dire!
    Amicalement
    Pappus
    PS
    Quels sont les points fixes de tes "inversions" s'il y en a?
  • Bonjour
    si j'ai bien compris et si l'on considère la conique $\Gamma =\left\{ M\ |\ q\left( \overrightarrow{\Omega M}\right) =k\right\} $ (qui est centrée en$\Omega $), le point $M^{\prime }$ est le point d'intersection de la droite $\Omega M$ et de la polaire de $M$ par rapport à $\Gamma $.
    Cela généralise bien l'inversion par rapport à un cercle.
    On peut d'ailleurs faire ainsi une généralisation projective à partir d'un point $\Omega $ et d'une conique $\Gamma $; la transformation obtenue est parfois appelée inversion de Hirst de pôle $\Omega $ par rapport à $\Gamma $. Voir, par exemple, Thomas HIRST 1865
    Cordialement. Poulbot
  • Merci pour ta référence.

    Lionel
  • Pappus,
    étant donné la forme quadratique $\left ( \frac{x}{a} \right)^2 +\left ( \frac{y}{b} \right)^2$, seules les ellipses d'équations $\left ( \frac{x}{a} \right)^2 +\left ( \frac{y}{b} \right)^2= c$ (ou $c$ est une constante réelle) sont vues comme des cercles et se transforment en cercles par l'inversion.

    Ca me gêne, dans un espace pseudo-métrique, d'appeler hyperbole un objet qui se comporte comme un cercle et que ne vérifie plus la définition avec l'excentricité.

    J'ai des algo : je construis les trois points massiques de contrôle d'une courbe de Bézier rationnelle quadratique modélisant un demi-cercle.
    Pour le moment, je bute sur le cas où la droite passant par le centre de l'hyperbole et le pôle de l'inversion ne coupe pas l'hyperbole.

    Je mets l'article quand je l'aurai fini.

    Lionel
  • Bonjour
    en fait, la construction de l'image d'un point par cette transformation ne nécessite ni tracé de la conique, ni de cercles, ni encore moins de courbes de Bézier : connaissant 5 points d'une conique, la construction de la polaire d'un point peut se faire à la règle seule.
    Si la conique passe par $A,B,C,D,E$, voici une construction possible à la règle de la polaire d'un point $M$
    $1)$ On construit le deuxième point d'intersection $A^{\prime }$ de la conique et de la droite $AM$ :
    $U=AC\cap BE;V=AM\cap DE;W=UV\cap CD;A^{\prime }=AM\cap BW$
    $2)$ En inversant $A$ et $B$ dans la construction précédente, on construit le deuxième point d'intersection $B^{\prime }$ de la conique et de la droite $BM$
    La polaire de $M$ passe par $AB\cap A^{\prime }B^{\prime }$ et $AB^{\prime }\cap A^{\prime }B$
    Cordialement. Poulbot
  • Le choix des courbes de Bézier est volontaire et j'espère convaincre que le formalisme des points massiques et génial.

    De plus, je travaille dans l'espace des sphères (sphère unité de l'espace de Lorentz de dimension 5 muni d'une forme quadratique de signature (4;1)) où une cyclide de Dupin est définie par deux coniques propres (deux cercles ou un cercle et une droite pour la métrique Lorentz)

    Lionel
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