matrice

Bonjour,

grande est mon ignorance.

Quelqu'un peut-il m'expliquer pourquoi certaine matrice M vérifient : M^n = aM+bJ, (a et b dépendant de n, n entier) quand n est impair mais pas quand n est pair , J étant la matrice dont tous les coefficients valent 1 .

bien cordialement

kolotoko

Réponses

  • Qui sont a, b et n ? n est la dimension de M ? Ou alors pour tout n il existe a et b tels que ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Bonjour,

    On peut remarquer que si $J$ est de dimension $m$, alors $J^n=m^{n-1}J$ pour tout entier naturel non nul $n$.
    Donc $M=J$ vérifie identité comme dans la question posée. Est-ce que cela aide ?
  • Comme J/n est un projecteur de rang 1, dans le problème on peut remplacer J par diag(1,0,0). On prend M=diag(0,1,-1).
  • Bonjour,

    bon, d'accord : a et b sont des coefficients qui dépendent de n.

    n est entier soit pair, soit impair.

    on a par exemple M^3 = aM + bJ

    Avec d'autres entiers (appelons les c et d), on a M^5 = cM + dJ et ainsi de suite pour les exposants n impairs .

    Mais pour les exposants pairs cela ne marche pas ; y a pas ce genre de formule .

    ça m'étonne un peu quand même cette histoire.

    bien cordialement

    kolotoko
  • Bonjour,

    pour dire les choses autrement, les coefficients de M^n sont fonction affine des coefficients correspondants de M, quand l'exposant n est impair.

    exemple : Soit la matrice M d'ordre 4 = [8,-5, -6, 5 ; -3, 2, 3, 0; 1, -2, -1, 4; -4, 7, 6, -7] .

    Les coefficients (y) de M^3 sont fonction affine de ceux (x) de M par la fonction y = 64x - 30 .
    Ce n'est pas le cas pour l'exposant 2 car des valeurs se répètent (ce qui n'est pas le cas pour les coefficients de M) .
    Pour l'exposant n = 5, la fonction affine est y = 4096x - 2040.
    bien cordialement

    kolotoko
  • Bonsoir ,

    dans l'exemple que j'ai donné, il semble que la fonction affine soit y = 2^3(n-1) * x - 2^(n-2)*(2^(2n-2) - 1), quand l'exposant n est impair.

    bien cordialement

    koolotoko
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