Théorème de Hurwitz

Bonjour,

J'essaie de démontrer le théorème de Hurwitz, qui donne l'encadrement d'un nombre irrationnel x en fonction d'une fraction p/q :
Pour tout nombre irrationnel x, il existe une infinité de rationnels p/q tels que: | a - p/q | < 1/ racine (5) * 1/q²

J'ai trouvé cette démonstration:

lien

mais je n'arrive pas à conclure que : | a - p/q | < 1/ racine (5) * 1/q²

Comme de p/q< a < p'/q' , et de | p'/q' - p/q | < 1/ racine (5) * (1/q² + 1/q'2), peut-on déduire | a - p/q | < 1/ racine (5) * 1/q² ?

Sachant que | a - p/q | < | p'/q' - p/q | /2 ou | a - p'/q' | < | p'/q' - p/q | /2 , j'arrive selon que q'> q ou pas à :

| a - p/q | < 1/ racine (5) * (1/q² )
ou | a - p/q | < 1/ racine (5) * (1/q'² )

merci pour vos suggestions.

Cordialement , JeremyJeff

Réponses

  • De même, je n'arrive pas à démontrer que si :
    p/q et p'/q' sont les deux termes consécutifs d'uen suite de Farey, q' > q*(rac(5) + 1 )/2 ou q' < q*(rac(5) - 1 )/2

    J'ai essayé une récurrence sur les suites de Farey d'ordre n, sachant que les nouveaux élements de Fn+1 sont les sommes : p/q < (p+p')/(q+q') <p'/q'

    mais je bloque sur la partie :(p+p')/(q+q') <p'/q'

    Avez-vous une idée ?

    Merci

    Cordialement, JeremyJeff
  • Jette un œil au chapitre 4 de Roots to Research: A Vertical Development of Mathematical Problems de Sally & Sally (quel chance, ce chapitre est en téléchargement libre).

    http://www.ams.org/bookstore/pspdf/mbk-48-prev.pdf
  • OK, merci

    Comment faites-vous pour tout savoir tout le temps ?

    Sinon j'ai trouvé un exercice synthétique ici
    Long, mais pas mal fait.

    Cordialement, Jeremyjeff
  • Comme aurait dit Socrate, je ne sais qu'une chose, c'est que je ne sais rien.
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