Une suite à exploiter pour les harmoniques

chamath

Bonjour à tous
Je suppose que cette suite $\ (u_n)\ $ est connue des professionnels ; personnellement pour moi tout ça c'est "magique"

On pose $\ u_0\ = \ 0\ $ et $\ u_{i+1}\ =\ (i+1).u_i\ +\ i!\ $
alors pour $\ n\ \in \matbb {N}^* \ $ on obtient :
$\displaystyle H_n\ =\ \frac {u_n}{n!}\ =\ \frac {1}{1}\ +\ \frac {1}{2}\ +\ ...\ +\ \frac {1}{n}\ $

chamath

dans la même "idée" encore un truc "magique" pour moi
on construit un tableau que l'on note conventionnellement

$\begin {Bmatrix} n \\ p \end {Bmatrix}\ $ avec $\ n\ \geq \ p\ $ avec n et p dans $\ \mathbb {N}$

on pose $\displaystyle \begin {Bmatrix} n \\ 0 \end {Bmatrix}\ =\ n!\ $ et $\ \begin {Bmatrix} 1 \\ 1 \end {Bmatrix}\ =\ 1\ $

selon $\begin {Bmatrix} n \\ p \end {Bmatrix}\ =\ n.\begin {Bmatrix} n -1\\ p \end {Bmatrix}\ +\ \begin {Bmatrix} n -1\\ p-1 \end {Bmatrix}$

alors on vérifie $\displaystyle \ \binom {n}{p}\ =\ \frac {\displaystyle \sum_{i=1}^p(-1)^{i+1}.n^{p-i+1}.\begin {Bmatrix} p-1 \\ p-i \end {Bmatrix} }{p!}$

de même on vérifie $\displaystyle \begin {Bmatrix} n \\ 1 \end {Bmatrix}\ =\ u_n$

la suite $\ u_n\ $ décrite dans ce fil

kolotoko0

Bonsoir,

il faut voir A130534, A132393 dans O.E.I.S.

Tout cela est expliqué dans le livre de Louis Comtet : Analyse combinatoire PUF 1970)

bien cordialement

kolotoko

chamath

merci kolotoko
ça sera difficile
je ne comprend rien à ces termes..
je rappelle que j'ai quitté le cursus scolaire à seize ans:D
je regarderai dans google pour voir c'est quoi O.E.I.S.
A130534, A132393 ça deviens franchement barbare
bonne nuit Kolotoko
j'ai trouvé ça https://oeis.org/?language=french

pour moi c'est magique comme est magique le tonnerre pour l'homme des cavernes