calcul modulaire difficile

chamath

bonjour à tous
étant très faible en arithmétique
j'ai du mal à vérifier l'exactitude pour la détermination de l'entier naturel $\ d\ \in \ \mathbb {N}^*$
je vous serai reconnaissant si vous pouvez me dire si l'expression de d est fausse

ici je pose la convention de notation [r] qui désigne la partie entière de r

$A^e\ \equiv \ B(mod\ n)$ étant posé tel que:1) & 2) &3)

1)
$\ n\ >\ 1$ est un produit de deux facteurs premiers différents donc
$n\ =\ p.q\ $ avec $\ p\ \neq \ q\ $ sont deux nombres premiers

2)
on considère l'application $\ \varphi (n)\ \mathbb{N}\ ->\ \mathbb {N} \ $
qui donne la quantitée d'entiers naturels dans l'intervalle $\ [\ 0\ ,\ n\ [\ $ qui sont premiers avec n
en fait $\ \varphi (n)\ =\ n.\prod_{p|n} (1\ -\ \frac {1}{p})\ $ avec p premier divise n

alors $\ e\ >\ 1\ $ dans $\ \mathbb {N}^*\ $ et est premier avec $\ \varphi (n)$

donc par conséquent $\ PGCD(\ e\ ,\ \varphi (n)\ )\ =\ 1\ $

3)
on considère la convention de notation $\ \mathbb {N}_u\ =\ \{0,1,\ ...\ ,u \}\ $ avec $\ u\ \in \ \mathbb {N}$
est l'ensemble des entiers naturels compris dans l'intervalle [0,u]
et on considère la convention $\ \mathbb {N}_u^*\ =\ \{1,2, \ ...\ ,u \}\ $avec $\ u\ \in \ \mathbb {N}^*$
est l'ensemble des entiers naturels compris dans l'intervalle [1,u]

alors $\ A \in \ \mathbb {N}_{n-1}^*\ $ et $\ B \in \ \mathbb {N}_{n-1}^*$

B tel que B et n sont premiers entre eux donc tel que $\ PGCD(\ B\ ,\ n\ )\ =\ 1\ $

ALORS

$\ B^d\ \equiv \ A(mod \ n)\ $ et $\ A^{ed}\ \equiv \ A(mod \ n)$

$e.d\ \equiv \ 1(\ mod\ \varphi (n)\ )\ $ et $\ e.d\ -\ \varphi (n).\begin {bmatrix} \frac {e.d}{\varphi(n)} \end {bmatrix}\ =\ 1$

pour déterminer d on détermine d'abord x et y sont les coéfficients de Bachet-Bézout de l'équation
$x.e\ +\ y.\varphi(n)\ =\ 1$

*lorsque X>0 et $\ x\ -\ \varphi(n).\begin {bmatrix} \frac {x}{\varphi(n)} \end {bmatrix}\ \geq \ 0\ $ on obtiens $\ d\ =\ x\ -\ \varphi(n).\begin {bmatrix} \frac {x}{\varphi(n)} \end {bmatrix}\ $

*lorsque X<0 et $\ x\ +\ \varphi(n).\begin {bmatrix} \frac {-x}{\varphi(n)} \end {bmatrix}\ \geq \ 0\ $ on obtiens $\ d\ =\ x\ +\ \varphi(n).\begin {bmatrix} \frac {-x}{\varphi(n)} \end {bmatrix}\ $

*lorsque X>0 et $\ x\ -\ \varphi(n).\begin {bmatrix} \frac {x}{\varphi(n)} \end {bmatrix}\ <\ 0\ $ on obtiens $\ d\ =\ \varphi (n)\ +\ x\ -\ \varphi(n).\begin {bmatrix} \frac {x}{\varphi(n)} \end {bmatrix}\ $

*lorsque X<0 et $\ x\ +\ \varphi(n).\begin {bmatrix} \frac {-x}{\varphi(n)} \end {bmatrix}\ <\ 0\ $ on obtiens $\ d\ =\ \varphi (n)\ +\ x\ +\ \varphi(n).\begin {bmatrix} \frac {-x}{\varphi(n)} \end {bmatrix}\ $