3r

Bonjour,

je demande le lieu des points M tels que la somme des distances algébriques du point M aux trois côtés d'un triangle ABC vaut 3r (trois fois le rayon du cercle inscrit).

bien cordialement

kolotoko

Réponses

  • Salut kolotoko,

    Qu'appelles-tu une "distance algébrique", s'il te plaît ?

    Amicalement.
  • Bonsoir,

    distance signée.

    bien cordialement

    kolotoko
  • Bonjour,

    distance algébrique : >0 si M du même côté que le triangle <0 sinon
    par exemple avec somme algèbrique = r et pas 3r :
    29100
  • Mon cher chephip
    kolotoko demande le lieu des points $M$ dont la somme des distances algébriques vaut $3r$:
    et non $r$:
    $x+y+z=3r$
    Et il me semble que le centre du cercle inscrit $I$ doit appartenir au lieu!
    Voilà un exercice intéressant à poser pendant une séance d'oral d'Agrégation dans une leçon sur les espaces affines.
    Je suis sûr qu'on pourrait descendre en flammes la moitié des candidats?
    Voici la solution que j'aurais aimé entendre:

    file.php?8,file=29101

    L'application $M \mapsto x(M)+y(M)+z(M)$ est en général une application affine non constante sauf dans un cas particulier à exhiber devant le jury!
    Ses lignes de niveau sont donc des droites.
    La figure montre un triangle $ABC$ (général) et sur chaque côté les pieds $A'$, $B'$, $C'$ des bissectrices extérieures du sommet opposé.
    Ces points sont "évidemment" situés sur la droite d'équation $x+y+z=0$, c'est d'ailleurs une façon originale de montrer qu'ils sont alignés.
    La droite $A'B'C'$, tracée en rouge, doit certainement porter le nom d'un de nos aïeux!
    Maintenant les lignes de niveau de la fonction affine non constante $M \mapsto x(M)+y(M)+z(M)$ sont des droites parallèles, (ce résultat est-il encore dans nos programmes?).
    Comme le centre du cercle inscrit vérifie l'équation $x+y+z=3r$; le lieu cherché est la droite, (tracée en pointillé rouge), passant par $I$ et parallèle à la droite $A'B'C'$.
    Amicalement
    Pappus29101
  • Bonjour,

    il serait heureux de placer le centre O du cercle circonscrit et de tracer la droite OI.

    bien cordialement

    kolotoko
  • Mon cher kolotoko
    Si tu poses cette question, c'est que la droite $OI$ doit faire un angle intéressant avec le lieu, sans doute un angle droit.
    Autrement dit, il y a des produits scalaires à calculer.
    Avoue quand même que cette méthode n'est pas très naturelle, (car il faut penser au point $O$), par rapport à la solution affine que j'ai développée qu'on ne peut évidemment pas utiliser dans le Secondaire, (trop compliqué puisqu'en dehors des programmes) ni dans le Supérieur, (trop simple car en dimension 2).
    Amicalement
    Pappus
    PS
    Résoudre le même problème avec l'équation $-x+y+z = 3r_a$, (notations habituelles).
  • Bonsoir,

    j'ai travaillé avec les coordonnées barycentriques pour trouver ce dont on parle ici.

    M. Bouzar devrait pouvoir nous résoudre cela facilement.

    bien cordialement
    kolotoko
  • L'orthogonalité de la droite $OI$ avec la droite $A'B'C'$ de ma figure est démontrée fort astucieusement dans le grand classique: Géométrie du Triangle de Lalesco.
    Voici la figure de l'exercice: $-x+y+z=3r_a$.

    file.php?8,file=29109

    Elle se prouve de la même façon!
    Amicalement
    Pappus29109
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