Un cylindre et deux billes d'acier...

Said Fubini

On dispose d'une carafe cylindrique à base circulaire de rayon 30 mm. Au fond de cette carafe, est placée une bille d'acier de rayon 20 mm. Et l'on recouvre cette bille d'eau, jusqu'à l'affleurement.
On sort la bille de l'eau et on la remplace par une autre, toujours en acier, mais de rayon différent.
Que se passe -t-il?
Je veux dire: pouvez vous prévoir si la nouvelle bille sera recouverte entièrement ou, au contraire, dépassera de l'eau, ou bien s'il peut y avoir de nouveau affleurement ?

bosio frederic0

Si la nouvelle bille est plus petite que la prmière, elle sera entièrement recouverte. Si elle est plus grosse, elle dépassera. Non ?

Said Fubini

Si la nouvelle bille est plus petite que la première, elle sera entièrement recouverte : oui , sinon il faut bien réfléchir!

enki

Bonjour,

c'est intéressant en effet, comme quoi quand il s'agit de non-linéaire, l'intuition est à prendre avec des pincettes.\\
On doit donc écrire le volume d'eau $V_e$ nécessaire pour que la bille soit immergé en fonction du rayon $R_b$ de la bille connaissant le rayon du cylindre $R_c$, le rayon de la bille $R_b$ varie de $0$ à $R_c$. On a donc:
$$
V_e(R_b)=2\,\pi R_c^2\,R_b-\frac{4}{3}\pi R_b^3
$$
la dérivée est donnée par
\begin{eqnarray*}
\dot V_e(R_b)&=&2\pi R_c^2-4\pi R_b^2\\
&=&4\pi\left(\frac{R_c}{\sqrt{2}}-R_b\right)\left(\frac{R_c}{\sqrt{2}}+R_b\right)
\end{eqnarray*}
On voit donc que entre $0$ et $R_c/\sqrt{2}$, $V_e$ augmente et entre $R_c/\sqrt{2}$ et $R_c$, $V_e$ diminue.\\
Dans notre cas, on a $R_c/\sqrt{2}\approx 21.2$, donc si $R_b$ est plus petit la bille sera bien immergé, par contre si le rayon $R_b$ augmente, dans un premier temps la bille ne sera plus immergée et elle le sera à nouveau quand on aura $R_b\ge R_c/\sqrt{2}\approx 21.2$.

cordialement,
enki.

enki

je viens de me rendre compte que j'ai fait une erreur sur la conclusion, la bille sera immergée à nouveau si on a un rayon $\tilde R\in [ R_c/\sqrt{2},R_c]$ tel que $V_e(20)=V_e(\tilde R)$.\\
Cela semble être le cas puisque $V_e(20)\approx 8\, 10^4$ et $V_e(30)\approx 5.7\,10^4$. On devrait même être capable de calculer la valeur exacte, mais je manque un peu de courage dans l'immédiat.

cordialement,
enki.

Said Fubini

bien vu , maintenant il va falloir que je le rédige TP ou DM niveau seconde ou 1er

origine du texte : Le problème de nath de Gérarld Tenenbaum chez Belin , une histoire autour de la peur des maths , dès 12 ans.

21,2 est le milieu donc$ \tilde R\approx22.4$

joel_5632

Très intéressant.

Je suis tombé dans le piège à pieds joints

enki

Le livre a l'air intéressant, merci pour la découverte.