Équation de la chaleur

clemclem

Bonjour,

Je suis en train d'étudier l'équation de la chaleur dans $[0,T]\times \R^n$ et plus précisément \[
\left\{
\begin{array}{rcll}
\partial_t u(t,x) - \eta \Delta u(t,x) &=& f(t,x)&\qquad\text{sur } ]0,T]\times \R^n \\
u(0,x) &=& u_0(x)&\qquad\text{sur } \R^n
\end{array}
\right.
\] avec $f\in L^2(0,T;L^2(\R^n))$, $u_0 \in H^1(\R^n)$ et $\eta$ un réel strictement positif fixé (étude que je ne trouve développée complètement et rigoureusement nulle part...!). Avant de considérer des données aussi générales, je me fixe $f\in L^2(0,T;\mathcal{S}(\R^n))$ et $u_0 \in \mathcal{S}(\R^n)$, on montre alors qu'il existe une unique solution au problème qui est donnée (en passant par la transformée de Fourier) par \[
\forall(t,\xi)\in [0,T]\times \R^n,\qquad \hat{u}(t,\xi) = e^{-\eta|\xi|^2 t} \hat{u_0}(\xi) + e^{-\eta|\xi|^2 t}\int_0^t e^{\eta|\xi|^2\tau} \hat{f}(\xi,\tau) d \tau
\] Ma question est la suivante, je cherche à borner $|u(t,.)|_{H^1(\R^n)}$ en fonction de la norme $H^1(\R^n)$ de $u_0$ (cette partie ne pose pas de problèmes) et de la norme $L^2(0,T;L^2(\R^n))$ de $f$. Le problème revient donc à majorer la quantité $$
|\xi|e^{-\eta|\xi|^2 t}\int_0^t e^{\eta|\xi|^2\tau} \hat{f}(\xi,\tau) d \tau
$$ en fonction de la norme $L^2$ espace temps de $f$ et là je bloque...

Auriez-vous une idée ?
Merci d'avance

GlooGloo

Bonjour, ce problème est à peu de chose près traité dans le Brézis Analyse Fonctionnelle Théorie et Applications.
On y montre l'existence , l'unicité de la solution et on établit les diverses estimations à priori sur la solution.

Pour obtenir une estimation, multiplier votre équation par la solution u et intégrer, vous devriez pouvoir obtenir quelque chose.