le voici mon probleme d' edp en entier et enfin

Edp non linéaire du premier ordre ( méthode de lagrange et charpit)

Deux exemples résolus

PRENONS LES NOTATIONS DE MONGE : p = dz/dx et q = dz/dy ou z est fonction de x et y.

I - considérons l’edp (p^2)-(q^2) = 1

L’équation caractéristique s’ecrit : dx/2p = dy/2q = dz/2 = dp/0 = dq/0
On a donc : dx/p = dy/q = dz/1

Les intégrales premières s’écrivent : dz = d( px+qy) d’où on a z = px+qy+ k ou k est une constante et on peut poser p = chλ et q = shλ il vient alors que z = (chλ)x + (sh λ) y + h(λ) et z est une intégrale complète dépendant de λ de cette edp .
Trouvons l’enveloppe de la famille des plans z . on a pour cela dz/dλ = 0 .on a donc le système :
z = (chλ)x + (sh λ) y + h(λ)
0 = (sh λ)x + (ch λ)y + ħ(λ) ou ħ est la dérivée de h
d’ou en résolvant on a :
x = zchλ + ħ(λ)sh λ – h(λ)ch λ
y = -zsh λ + h(λ)sh λ – ħ(λ)ch λ qui est l’enveloppe des solutions.

II - considérons l’edp px + qy – pq =z
L’équation caractéristique s’écrit : dx/(x-q) = dy/(y-p) = dz/[p(x-q)+q(y-p)] = dp/0 = dq/0

Les intégrales premières s’écrivent : dz = d( px+qy) d’où on a z = px+qy+ k ou k est une constante or z = px + qy – pq d’ou en faisant px+qy+ k = px + qy – pq on a k = -pq.
En posant : p = λ et q = h(λ) d’ou z = λx + h(λ)y – λh(λ) . z est une intégrale complète de cette edp. Trouvons l’enveloppe de la famille des plans z . ceux ci doivent vérifier : dz/d λ = 0
On a donc le système : z = λx + h(λ)y – λh(λ) et 0 = x + ħ(λ)y – ( h(λ) + λħ(λ) ) et en résolvant on a : z = y( h(λ) + λħ(λ) ) +( λ^2)ħ(λ).
Dans cet exemple j’aimerais savoir comment faire pour obtenir la solution particulière correspondant à y = 0 et (x^2) = 2z

III- MON PROBLEME

1- xq +py =pq
2- pq = z
3- (p^2) + (q^2) = ((3(b^2))/(z^2)) ; cas particulier x = 0 et (z^2) = 2ay(2^(0.5))
4- (p^2) + (q^2) = 2z ; Cas particulier x = 0 et z = y.
mon problème dans ces cas est que dans l’équation caractéristique les dénominateurs de (dp) et (dq) respectivement sont non nuls et je ne parviens pas a intégrer cette équation.

Réponses

  • salut clark
    ca serai plus jolie et plus agreable a lire en latex,veille la prochaine fois que ca soit en latex.
    amitié


    Edp non linéaire du premier ordre ( méthode de lagrange et charpit)

    Deux exemples résolus

    PRENONS LES NOTATIONS DE MONGE $: p = dz/dx$ et $q = dz/dy$ ou $z$ est fonction de $x$ et $y$.

    I - considérons l’edp $(p^2)-(q^2) = 1$

    L’équation caractéristique s’ecrit : $dx/2p = dy/2q = dz/2 = dp/0 = dq/0$
    On a donc : $dx/p = dy/q = dz/1$

    Les intégrales premières s’écrivent $: dz = d( px+qy)$ d’où on a $z = px+qy+ k$ ou $k$ est une constante et on peut poser $p = chλ$ et $q = shλ$ il vient alors que $z = (chλ)x + (sh λ) y + h(λ)$ et $z$ est une intégrale complète dépendant de $λ$ de cette edp .
    Trouvons l’enveloppe de la famille des plans $z$ . on a pour cela $dz/dλ = 0$ .on a donc le système :
    $z = (chλ)x + (sh λ) y + h(λ)$
    $0 = (sh λ)x + (ch λ)y + ħ(λ)$ ou $ħ$ est la dérivée de $h$
    d’ou en résolvant on a :
    $x = zchλ + ħ(λ)sh λ – h(λ)ch λ$
    $y = -zsh λ + h(λ)sh λ – ħ(λ)ch λ$ qui est l’enveloppe des solutions.

    II - considérons l’edp $px + qy – pq =z$
    L’équation caractéristique s’écrit : $dx/(x-q) = dy/(y-p) = dz/[p(x-q)+q(y-p)] = dp/0 = dq/0$

    Les intégrales premières s’écrivent : $dz = d( px+qy) d’où on a z = px+qy+ k$ ou $k$ est une constante or $z = px + qy – pq$ d’ou en faisant $px+qy+ k = px + qy – pq $on a $k = -pq$.
    En posant : $p = λ et q = h(λ)$ d’ou$ z = λx + h(λ)y – λh(λ)$ . $z$ est une intégrale complète de cette edp. Trouvons l’enveloppe de la famille des plans $z $. ceux ci doivent vérifier : $dz/d λ = 0$
    On a donc le système : $z = λx + h(λ)y – λh(λ)$ et $0 = x + ħ(λ)y – ( h(λ) + λħ(λ) )$ et en résolvant on a : $z = y( h(λ) + λħ(λ) ) +( λ^2)ħ(λ).$
    Dans cet exemple j’aimerais savoir comment faire pour obtenir la solution particulière correspondant à $y = 0 et (x^2) = 2z$

    III- MON PROBLEME

    $1- xq +py =pq$
    $2- pq = z$
    $3- (p^2) + (q^2) = ((3(b^2))/(z^2))$ ; cas particulier $x = 0 et (z^2) = 2ay(2^(0.5))$
    $4- (p^2) + (q^2) = 2z $; Cas particulier$ x = 0 et z = y.$
    mon problème dans ces cas est que dans l’équation caractéristique les dénominateurs de $(dp)$ et $(dq)$ respectivement sont non nuls et je ne parviens pas a intégrer cette équation.
  • moi j'en veux pas à clark, dans ton latex les lambda passent pas bien (chai pas comment tu les as fait mais bon...) et comme je vois que ça fait plusieurs jours qu'il essaye (et qu'il avait déjà essayé en latex en vain) je trouve ça plutôt bien qu'il ait finalement réussi autrement...

    bon courage clark ;-)
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