suites et fonctions continues

tonio0

Bonjour,

Je considère une suite de réels $(x_n,y_n)$ qui converge vers $(x,y)$, mais peut-être qu'un des termes converge plus vite que l'autre.
J'ai deux fonctions $f_1$ et $f_2$ telles que $f_1(y) = x$ et $f_2(x) = y$ (pour la limite de ma suite).
Je me demande si je peux dire quelque chose sur la distance entre $x_n$ et $f_1(y_n)$ ou bien entre $y_n$ et $f_2(x_n)$ ? En particulier, proche de $(x,y)$, j'aimerais bien qu'une des deux distances soit au moins du même ordre que $|x_n - x| $ ou bien $| y_n - y| $.
On peut supposer toute sorte de régularités sur les fonctions $f_1$ et $f_2$, mais peut-être que celle là serait utile : $f'_1(y) \neq 1$ et $f'_2(y) \neq 1$ ?
J'utilise le théorème des valeurs intermédiaires un peu partout mais je suis assez confus, donc un peu d'aide serait la bienvenue !

Merci d'avance

aurelpage

Bonjour,

malheureusement, on ne peut rien dire comme ce que tu demandes. Par exemple, prends~$x=y=0$, $f_1 : x \mapsto 2x$ et~$f_2 : x \mapsto 3x$, tu verras que la distance ne peut pas être de l'ordre de grandeur de la vitesse de convergence de l'une seule des deux suites.
Par contre on peut donner une majoration qui fait intervenir les deux suites à la fois :
\[ |x_n-f_1(y_n)| = |x_n-x +x -f_1(y_n)| \le |x_n-x| + |f_1(y) -f_1(y_n)| \le |x_n-x| + |f_1'(y)|\,|y-y_n| + O(|y-y_n|^2)\text{.} \] Tu peux aussi modifier un peu la dernière inégalité en utilisant d'autres formules, suivant ce dont tu as besoin. Par exemple tu peux enlever le grand O et remplacer~$|f_1'(y)|$ par~$\mathrm{sup}_{[y,y_n]}|f_1'|$.

Aurel

tonio0

Merci pour ton message Aurel,

J'avais fait la même chose que toi mais version théorème des valeurs intermédiaires. Sinon c'est une bonne idée de faire un exemple.

Avec ton exemple donc, supposons par exemple que $(x_n,y_n)$ = $(1/n,1/n^2)$. Dans ce cas là $f_2(x_n) - y_n = 2/n - 1/n^2$ ce qui est du même ordre de grandeur que $x_n - x$. De la même manière, $f_1(y_n) - x_ n = 3/n^2 - 1/n$ ce qui est encore du même ordre de grandeur que $x_n - x$. Le fait que ça soit négatif n'est pas important pour moi, j'ai juste besoin que $f_1(y_n)$ ne soit pas trop proche de $x_n$ ou bien $f_2(x_n)$ ne soit pas trop proche de $y_n$.

aurelpage

Ah d'accord, j'avais mal compris ton problème : ce que tu veux est plutôt une minoration qu'une majoration de la distance.
Si tu ne sais rien sur la vitesse de convergence des deux suites, tu n'as aucune chance encore une fois : toujours avec le même exemple si tu prends~$(x_n,y_n) = (2/n,1/n)$ tu as~$x_n-f_1(y_n) = 0$.
Par contre, si par exemple~$|y-y_n| = o(|x-x_n|)$ on peut dire des choses :
\[ |x_n-f_1(y_n)| \ge |x-x_n| - |f_1(y)-f_1(y_n)| = |x-x_n| + |f_1'(y)||y-y_n| + o(|y-y_n|) = |x-x_n| + o(|x-x_n|)\text{,} \]
c'est-à-dire que~$|x_n-f_1(y_n)|$ est au moins de l'ordre de grandeur de~$|x-x_n|$. Si tu connais la comparaison entre~$|y-y_n|$ et~$|x-x_n|$ de manière quantitative, tu peux obtenir la minoration de manière quantitative aussi.

Aurel

tonio0

Merci Aurel,

Ce que tu as fait m'aide beaucoup à mettre les choses au clair. J'oublie toujours cette version de l'inégalité triangulaire.

J'ai aussi oublié de préciser un point important : $(x,y)$ est le seul point fixe de $(f_1,f_2)$, donc dans ton exemple, comme $x_n - f_1(y_n) = $ il ne peut en être de même pour $y_n - f_2(x_n)$.

Après tu dis qu'on peut en dire plus quand on connait l'ordre relatif entre $|x-x_ n|$ et de $| y-y_n|$. Dans ton exemple ça marche bien avec $|y-y_n| = o(|x-x_n|)$. Si je suppose que $|x-x_n| = o(|y-y_n|)$ alors j'aurai $|x_n-f_1(y_n)| \ge |x-x_n| - |f_1(y)-f_1(y_n)| = |x-x_n| + |f_1'(y)||y-y_n| + o(|y-y_n|) \ge K|y-y_n| + o(|y-y_n|)$ car je suppose aussi que $f'$ est continue et toujours différente de zéro donc on peut minorer |f_1'(y)| par une constante positive.

Maintenant, si on n'a pas $|y-y_n| = o(|x-x_n|)$ ou $|x-x_n| = o(|y-y_n|)$ est-ce que ça veut dire que $|y-y_n| \sim |x-x_n|$? Et dans ce cas, étant donné ta première inégalité $|x_n-f_1(y_n)| \ge |x-x_n| - |f_1(y)-f_1(y_n)| $, si $f_1'(y) \neq 1$ alors j'aurais l'ordre de grandeur souhaité?

J'ai lu que les hypothèse de $f'_1 \neq 1$ et $f'_2 \neq 1$ signifiait que $f_1$ et $f_2$ étaient ``transverse'' au point $(x,y)$ et que c'est lié à une question d'unicité locale, mais je ne comprends pas trop.

aurelpage

Même avec la restriction sur le point fixe, des versions approchées de mon contre-exemple marcheront encore.

Désolé, je viens de voir une erreur de signe dans mon post précédent, ce qui t'as fait faire une erreur aussi. Il fallait lire
\[ |x_n-f_1(y_n)| \ge |x-x_n| - |f_1(y)-f_1(y_n)| = |x-x_n| - |f_1'(y)||y-y_n| + o(|y-y_n|) = |x-x_n| + o(|x-x_n|)\text{,} \] et donc pour l'adapter lorsque~$|x-x_n| = o(|y-y_n|)$ il faut écrire
\[ |x_n-f_1(y_n)| \ge |f_1(y)-f_1(y_n)| - |x-x_n| = |f_1'(y)||y-y_n| + o(|y-y_n|) - |x-x_n| \ge K|y-y_n| + o(|y-y_n|) \] (dans ce type d'inégalité il faut retrancher le terme secondaire au terme principal pour obtenir quelque chose d'intéressant)
Par contre, même si on n'a ni~$|y-y_n| = o(|x-x_n|)$ ni~$|x-x_n| = o(|y-y_n|)$ ça n'implique pas grand chose, et certainement pas~$|y-y_n| \sim |x-x_n|$. Pense par exemple à des choses du type~$(x_n,y_n)=(1/n, \cos(n)/n)$.

Pour la question de transversalité, je ne vois pas bien ce que tu entends pas là. J'aurais plus pensé à une condition comme~$f_1'(y)f_2'(x)\neq 1$, ce qui implique si je ne trompe pas que le graphe de~$f_2$ et le transposé du graphe de~$f_1$ sont transverses en~$(x,y)$, et ça doit probablement permettre de minorer~$|x_n-f_1(y_n)|+|y_n-f_2(x_n)|$ (mais pas chacun des deux séparément).

Aurel

tonio0

Encore une fois, merci beaucoup Aurel. Tu as raison, la condition est plutôt du type $f_1'(y)f_2'(x)\neq 1$ (en fait le problème est multidimensionnel, et du coup la condition est que la matrice $Df - I$ soit inversible).

Tu as aussi raison, au final on devrait être capable de minorer $|x_n-f_1(y_n)|+|y_n-f_2(x_n)|$ et je devrais m'en sortir comme ça.

Je n'ai juste pas très bien compris ces histoires de graphes tranverses en $(x,y)$. Est-ce que tu pourrais m'indiquer un poly disponible sur le net ou je peux lire des choses liées à ça?

[Edit: la case $\LaTeX$ Greg]

aurelpage

Si ce type de minoration te convient, je te décris rapidement comment je le prouverais :
On choisit une norme sur le plan. Par exemple pour minorer~$|x_n-f_1(y_n)|+|y_n-f_2(x_n)|$ on prendra la norme~$1$.
Soit~$F : \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ qui à tout~$(u,v)$ asssocie~$(u-f_1(v), v-f_2(u))$. On a~$F(x,y)=(0,0)$, et la jacobienne de~$F$ en~$u,v$ est \[ \begin{pmatrix}1 & -f_2'(v) \\ -f_1'(u) & 1\end{pmatrix}\]
et a donc pour déterminant~$1-f_1'(v)f_2'(u)$. Sous l'hypothèse~$f_1'(y)f_2'(x)\neq 1$ cette différentielle est inversible. Soit~$X_n = (x_n,y_n)$, $X=(x,y)$ et~$Y_n = F(X_n)$. Comme~$X_n\to X$ on a~$Y_n = DF_{X}(X_n-X) + o(\|X_n-X\|)$, d'où~$X_n-X + o(\|X_n-X\|) = DF_{X}^{-1}(Y_n)$. Soit~$K = \sup_{\|h\|=1}\|DF_{X}^{-1}(h)\|$. Alors~$\|DF_{X}^{-1}(Y_n)\| \le K \|Y_n\|$ d'où~$\|Y_n\| \ge (1 + o(1))/K\cdot \|X_n-X\|$.

Je ne connais pas beaucoup de poly de géo diff sur le net, il y a celui de Paulin mais je ne suis pas sûr que tu y trouves ce que tu veux.

tonio0

Encore merci Aurel, c'est vraiment ce que je cherchais et tes explications m'aident beaucoup à comprendre tout ça. Pour corser un peu les choses j'ai deux fonctions $u_1$ et $u_2$ et ce que je cherche vraiment c'est un majorant [minorant] de $u_1(f_1(y_n),y_n)) - u_1(x_n,y_n) + u_2(x_n,f_2(x_n)) - u_2(x_n,y_n)$, avec $\max_a u_1(a,b) = u_1(f_1(b),b)$ et de même pour $u_2$ et $f_2$ - i.e. les fonctions $f_i$ indiquent les meilleures réponses de joueurs 1 et 2 (pour l’interprétation très succincte de théorie des jeux). Je vais essayer d'adapter ton raisonnement en faisant les hypothèses nécessaires sur $u_1$ et $u_2$. Je crois que je vais devoir supposer que les fonctions sont $\mathcal{C}^3$ et strictement concave.

[Corrigé selon tes 2 indications. AD]