Convergence faible

clemclem

Bonjour,

Supposons que $(W_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge faiblement dans $L^2([0,T]\times \mathbb{R})$ vers $W$.
A-t-on la convergence de $\int_0^T\int_{\mathbb{R}} |W_n|^2(t,x) \phi(t,x) dx dt$ vers $\int_0^T\int_{\mathbb{R}} |W|^2(t,x) \phi(t,x) dx dt$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ($\phi$ étant dans $\mathcal{D}([0,T]\times \mathbb{R})$) ?

Merci d'avance

Kito

Prends leur différence et rappelle toi que $W_n$ est borné.

clemclem

C'est ce que j'ai pensé à faire et écrire alors :

$\int (|W_n|^2-|W|^2)\phi = \int (|W|+|W_n|)(|W_n|-|W|)\phi$

mais à partir de là, je pensais faire un Cauchy-Schwarz mais cela n'aboutit pas.

Kito

Tu peux majorer la seconde égalité.

clemclem

Justement par quoi ? Car l'inégalité de Cauchy-Schwarw va me donner une borne du type

$M (\int (|W_n|-|W|)^2|\phi|^2)^{1/2}$

dont je ne vois pas bien comment montrer qu'elle converge vers $0$.

Kito

Tu n'as pas besoin de Cauchy-Schwartz ici.
Tu dois utiliser le resultat suivant : Si $W_n$ converge faiblement vers $W$, alors $\|W_n\|$ est borné et $\|W\|\le \lim \inf \|W_n\|$, pour majorer.

clemclem

Je suis d'accord sauf que la norme $||.||$ dont on parle ici c'est la norme $L^2$ donc pour pouvoir l'utiliser il faut bien faire un Cauchy-Schwarz quelque part non ?

Kito

Pardon en effet tu peux l'utiliser mais il faut monter d'abord le resultat dont je te parle.
Je penses aussi que si tu utilise $\langle W,\varphi\rangle=\displaystyle\int W\varphi$, les notations seront plus amicales.

clemclem

Je connais le résultat dont tu parles mais je ne vois pas en quoi il peut mettre utile ici.

Kito

$\langle (w_n - w)(w_n+w),\varphi\rangle \le ...$

clemclem

Oui c'est ce que j'ai dit toute à l'heure. On aboutit à une inégalité de la forme
$|<(W_n-W)(W_n+W),\phi>| \le M|| (W_n-W)\phi|| $ avec $M$ une constante.
Or dans la norme, il y a un carré qui me pose problème et qui fait que je ne peux pas utiliser la convergence faible. Je dois passer à côté de quelque chose d'évident, je pense...

Kito

Que sais tu de $\varphi$?

clemclem

$\phi$ est continue à support compact donc on peut aussi dire que que
$||(W_n-W)\phi||\le M_2 ||(W_n-W)||$
après il faudrait utiliser l'inégalité $||W||\le \liminf ||W_n||$ mais comment ?

Kito

Tu dois pouvoir voir qu'il a une hypothese qui manque. $W_n$ converge faiblement vers $W$ ne veux pas dire que $W_n$ converge fortement vers $W$.

clemclem

Donc le résultat n'est pas vrai ? Ou je suis dans la mauvaise direction ?

Kito

Si convergence faible toute seule n'est pas assez. Il faudra que $\|W_n\|\longrightarrow \|W\|$.

clemclem

Ce qui revient à dire que $W_n \to W$ dans $L^2$ fort...si je comprends bien le résultat n'est a priori pas vrai si on a juste la convergence $L^2$ faible.

O.G.5

Bonsoir

Effectivement la seule convergence faible n'entraîne pas la propriété demandée.
La convergence forte (dans $L^2$), oui (c'est évident). Par contre on peut tout de même avoir la propriété demandée sans avoir convergence forte.

O.G.