QDV 25: N'ayez pas Marre de Marre!
Bonsoir;
Nous ayons déjà parlé d'Aristide Marre. Souvenez-vous à l'époque; c'était, vers 1846, un soldat "au 71 ème de ligne". Aujourd'hui, nous sommes en 1880, il se questionne: "Trouver deux nombres qui ayent même différence que leurs cubes". Cela vous inspire? Vous trouvez cela marrant? Bonne soirée. Norbert p/o Le Comité Du Vendredi.
Nous ayons déjà parlé d'Aristide Marre. Souvenez-vous à l'époque; c'était, vers 1846, un soldat "au 71 ème de ligne". Aujourd'hui, nous sommes en 1880, il se questionne: "Trouver deux nombres qui ayent même différence que leurs cubes". Cela vous inspire? Vous trouvez cela marrant? Bonne soirée. Norbert p/o Le Comité Du Vendredi.
Réponses
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Quelle sorte de nombres ? Par exemple 3/7 et 5/7 ?
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Bon je précise mon point de vue.
Déjà, je présume qu'il faut trouver deux nombres distincts $x$ et $y$ qui ont même différence que leurs cubes. Ces deux nombres sont les solutions de l'équation : $x^2+xy+y^2=1$.
Il ne peut s'agir d'entiers, ce serait trop trivial.
Gageons qu'il s'agit de rationnels.
J'ai déjà expliqué comment procéder pour ce type d'équation, que l'on trouve notamment dans : Cagnac, Thiberge (Crozes), Arithmétique, Algèbre, Mathématiques élémentaires, Masson, 1965, p. 293. Eh oui, un manuel de Terminale ...
On paramètre l'ellipse d'équation $x^2+xy+y^2=1$ en la coupant par une famille de droites passant par un de ses points qui est entier, par exemple $(-1,0)$, et chaque droite de la famille a pour équation paramétriques : $x=-1+\alpha t$, $y=\beta t$. On peut prendre $\alpha $ et $\beta$ entiers premiers entre eux.
On reporte ceci dans l'équation de l'ellipse, on en tire $t$, et la solution est : $x=\dfrac{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}{\alpha ^{2}+\alpha \beta +\beta ^{2}}$, $y=\dfrac{(2\alpha +\beta )\beta }{\alpha ^{2}+\alpha \beta +\beta ^{2}}$.
Sauf erreurs de calculs ...
Bonne soirée.
RC -
Non, pas d'erreur, Raymond.
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Bonjour!
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