éléments distincts

guiguiii

Bonjour,

Soit $\lambda_{1},...,\lambda_{n}$ des réels. Je ne comprends pas pourquoi si $k$ est un entier assez grand, $\lambda_{1}+1/k,...,\lambda_{n}+n/k$ sont 2 à 2 distincts.

Si $\lambda_{i}=\lambda_{j}$ alors c'est évident mais sinon ce n'est pas évident pour moi, ce qu'à l'air pourtant de supposer mon cours :-(

Cordialement

sadfub0

pour moi c'est clair pour les $\lambda_i +ik$

Chalk

Salut,

Si tous les $\lambda_{i}$ sont égaux le résultat est évident.

Sinon, soit $x = min |\lambda_{j} - \lambda_{i}|$ pour $\lambda_{i} \neq \lambda{j}$, et soit $K = \frac{4n}{x}$. Alors pour tout $k > K$, tous les $\lambda_{i} + \frac{i}{k}$ sont différents.

En effet, soit $k > K$.

Si $\lambda_{i} = \lambda_{j}$ le résultat est évident.

Si ils sont différents, supposons $\lambda_{j} > \lambda_{i}$, quitte à échanger $i$ et $j$. Alors $\lambda_{j} + \frac{j}{k} > \lambda_{j} - \frac{n}{k} > \lambda_{i} + \frac{n}{k} > \lambda_{i} + \frac{i}{k}$. En effet, pour l'inégalité intermédiaire, on a $k > K > \frac{2n}{x}$ et comme $x > 0$ et $\lambda_{j} - \lambda_{i} \geq x$ par définition de $x$, on a bien $\lambda_{j} - \lambda_{i} \geq x > \frac{2n}{k}$.

D'où le résultat.

Chalk

A vrai dire j'ai fait une preuve rigoureuse pour te montrer comment démontrer le résultat. Mais en tout état de cause ça nécessite rarement d'être démontré car le résultat est évident mais la démonstration un tantinet longue par rapport à l'évidence de l'énoncé.

Pour le voir intuitivement, il te suffit de te rendre compte que lorsque k est très grand, les lambda + i/k deviennent très proches des lambda, qui sont différents ! S'ils sont égaux tu as dit toi même que le résultat est évident.

Dans la preuve ci-dessus je formalise juste ça en prenant pour x le plus petit écart entre les lambdas qui sont différents, et quand k est suffisamment grand, lambda + i/k devient inférieur à lambda + x/2 et ne peut donc atteindre les autres lambda + i/k.

D'ailleurs maintenant que je revois ma preuve elle est inutilement compliquée puisque je l'ai faite au départ en ayant en tête de démontrer que les lambda + ou - i/k sont tous différents. Avec un dessin ça te paraîtra tout de suite naturel.

sadfub0

skyffer3 > ton x est non nul ?

il suffit de montrer que( à montrer! ) pour tout$ i , j $ differents (fixés), $\lambda_i +\frac{i}{k}$ et $\lambda_j + \frac{j}{k} $ sont distincts à partir d'un certain rang $K$
si $\lambda_i = \lambda_j$ evident

sinon $\vert (\lambda_i +\frac{i}{k})- (\lambda_j +\frac{j}{k}) \vert $ est superieur à
$ \vert \lambda_i - \lambda_j \vert - ( \vert i - j \vert )/k$ et on tend$ k$ vers l'infini

sadfub0

skyffer3 > oui x non nul : pas bien lu

Chalk

Bien sûr qu'il est non nul.

Si tous les lambdas sont égaux j'ai dit que l'énoncé était évident, s'ils ne sont pas tous égaux, mon x vaut juste la plus petite distance entre deux lambdas différents.

En revanche j'admets que ton utilisation d'une inégalité triangulaire accélère bien la démonstration