QDV 24: Des questions de Saïgon

En 1906, H.B. Mathieu pose de Saïgon cette question :
Quelles sont les solutions en nombres entiers de l'équation $$z^2 = (x^2+y^2)^2 + 8 x^2 y^2 - 4 xy (x^2-y^2).$$
Qu'auriez-vous répondu ?
Et qui était H.B. Mathieu ?
Norbert p/o Le Comité Du Vendredi.

[En LaTeX, c'est plus attrayant ;) AD]

Réponses

  • ... et oui H.B. Mathieu posait beaucoup de questions arithmétiques :)
  • Le cas où $x=0$ ou $y=0$ est trivial. Si $x$ et $y$ sont non nuls, on se ramène à traiter le cas où $x$ et $y$ sont premiers entre eux. Quelques essais (pas très poussés) sur ordinateur donnent les solutions $(1,2,9)$, $(18,5,281)$ et $(252,155,177041)$. Y en a-t-il d'autres ?
  • Si l'énoncé était $z^2=(x^2+y^2)^2-8x^2 y^2 +4xy(x^2-y^2)$, on pourrait écrire $z^2= \mathrm{Re} (a^4)+ \mathrm{Im} (a^4)$ où $a=x+iy$.
  • On peut réécrire l'énoncé original sous la forme $\mathrm{Re}(a^4)+ \mathrm{Im}(a^4)=2|a|^4-z^2$ où $a=x+iy$.
  • Bonjour
    Existe t-il un lien de parenté avec le mathématicien Émile Léonard Mathieu qui a donné son nom aux fonctions de Mathieu ?
  • ... Je ne pense pas que H.B Mathieu (celui de Saïgon) soit lié directement à Mathieu, le père des fonctions qui portent son nom et des énormes groupes. Après, je n'en suis pas sûr non plus. Les secrets de famille sont parfois bien gardés.
    À vrai dire j'ignore tout de H.B. Mathieu à part ces questions dans L'intermédiaire des mathématiciens je ne ne crois pas qu'il ait laissé d'articles. Était-il en poste (diplomatie, enseignement, militaire, etc) à Saïgon ?
    À trouver. Bonne soirée.
    Norbert.
  • Pour en revenir à l'équation diophantienne proposée par Norbert Verdier, voilà une idée :

    On suppose $(x,y)=1$. Si on pose $X=x^2-2xy-y^2$ et $Y=2xy$, alors l'équation s'écrit $z^2 = X^2+2Y^2$ avec $(X,Y) = 1$ ou $2$. Quitte à tout diviser par $4$, on peut supposer $(X,Y)=1$, auquel cas les solutions de l'équation $z^2 = X^2+2Y^2$ sont données par
    $$X = \pm \left( u^2-2v^2 \right), \quad Y = 2uv \quad \textrm{et} \quad z= \pm (u^2+2v^2) $$
    avec $(u,v)=1$ et $u$ impair. En donnant des valeurs arbitraires à $u$ et $v$ vérifiant les conditions imposées et en résolvant le système diophantien
    $$\left \{ \begin{array}{rcl} xy &=& uv \\ x^2-y^2 &=& u^2 + 2uv - 2v^2 \end{array} \right.$$
    on obtient les solutions primitives de l'équation initiale (enfin, j'espère...).

    Par exemple, avec $(u,v)=(1,2)$, on retrouve la solution $(x,y,z)=(1,2,9)$ fournie par JLT.

    Y a-t-il plus simple ?
  • La méthode précédente donne par exemple les triplets $(x,y,z) = (u,2u,9u^2)$ solutions ($u \in \Z$).
  • ...on obtient aussi $(x,y,z) = (18k,5k,281k^2)$ avec $k \in \Z$.

    Mais je me pose la question : ce sujet intéresse-t-il encore les gens ?
  • Bonjour,

    Ça m'intéresse. Comment résous tu le système diophantien pour tout $u$ et $v$ ?

    Merci d'avance.
  • Pour l'instant, je n'y suis pas arrivé. Ce système ne m'a permis que d'obtenir les familles (certes infinies) de solutions données ci-dessus.

    A suivre, donc...
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