Matrices semblables

clemclem

Bonjour,

Comment montrer que pour deux matrices $A$ et $A'$ à coefficients réels telles que $A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$ et $A'=\begin{pmatrix}
a' & b' \\
c' & d'
\end{pmatrix}$ vérifiant $A$ et $A'$ ont la même trace, $\det A = \det A'$ et $b-c=b'-c'$, il existe une matrice $M\in SO(2)$ tel que $A=MA'M^{-1}$

Merci d'avance

dSP

Décompose chaque matrice en la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique. Ta condition indique que les parties antisymétriques sont identiques
pour les deux matrices. Il est alors facile de réduire le problème à celui
où les deux matrices sont symétriques, auquel cas le théorème spectral, convenablement appliqué, fournit la solution de ton problème.

JLT

Il revient au même de dire que $A$ et $A'$ sont semblables et vérifient $f(A)=f(A')$ où $f(A)=b-c$.
Quitte à retrancher un multiple de l'identité, on peut supposer que $A$ et $A'$ sont de trace nulle.

On vérifie que $f$ est constante sur les orbites sous l'action de $SO(2)$. D'autre part, dans l'orbite de toute matrice de trace nulle il y a des matrices avec des coefficients diagonaux nuls. Ceci permet de se ramener au cas où $a=a'=d=d'=0$ qui est facile.

Edit : j'ai posté en même temps que dSP qui a une meilleure solution que la mienne.

clemclem

Merci à vous deux.