limites en zéro

tonio0

Bonjour,

Je considère l'expression $x f(x) + x^2 g(x)$ avec les propriétés suivantes :
\begin{itemize}
\item $x f(x) + x^2 g(x) > 0$ quelque soit $x > 0$.
\item $g(x) \in [-a,-b]$, $0<b<a$
\item $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 0$
\item mes fonctions $f$ et $g$ sont ``gentilles''
\end{itemize}
J'aimerais savoir s'il est possible de minorer ma quantité par une fonction d'ordre deux, c'est-à-dire pouvoir dire que $x f(x) + x^2 g(x) \geq Kx^2$. En gros, je ne voudrais pas que $f(x)$ tende vers zéro trop vite. Intuitivement $f(x)$ ne peut pas tendre vers zéro trop vite sinon proche de zéro $x^2 g(x)$ deviendrait le terme dominant dans mon expression, ce qui le rendrait négatif, ce qui contredit ma première condition.

Mais j'ai du mal à formaliser tout ça.
Merci d'avance pour votre aide.

h

Si tu as ce dont tu rêves, alors on a $xf(x) \ge (K+b)x^2$ etc.

tonio0

Merci H, je tente la suite de ton raisonnement.

Supposons que ce tu ai écrit soit faux : alors quelque soit $K$, $xf(x) < (K+b)x^2$. Prenons $K = 0$. On a $xf(x) < b x^2$. Donc $xf(x) + g(x)x^2< b x^2 + g(x) x^2 \leq 0$ puisque $g(x) \leq - b$.

On aboutit donc a une contradiction avec l'hypothèse $x f(x) + x^2 g(x) > 0$ quelque soit $x > 0$.

Est-ce que ça semble correct ou bien j'ai fait une erreur ?

tonio0

Bon ok, en fait je sais pas trop pourquoi j'aime bien me compliquer la vie...

tonio0

Avec le Latex

Mais si $xf(x) \geq (K+b) x^2$ alors je peux juste dire que $xf(x) + x^2g(x) \geq (K+b-a) x^2$. Rien ne dit que $K+b-a$ soit positif non ?