Suite positive qui tend vers 0

tonio0

Bonjour,

Je considère une suite $(a_n)_{n\geq0}$ telle que $a_n \geq 0$ et $\lim_{n \rightarrow \infinity} a_n = 0$. J'aimerai savoir si la proposition suivante est correcte : $\forall \epsilon >0$, $\exists N$ tel que $n \geq N $ implique $a_n \leq \epsilon$ et $a_n \leq a_N$.

En gros je souhaite que a partir du rang $N$ ma suite soit arbitrairement proche de zero, mais aussi plus proche de zero que $a_N$.

La contraposée de ma proposition est : il existe $\epsilon > 0 $ tel que quelque soit $N$, il existe $n \geq N$ et $a_n \geq \epsilon$ ou $a_n \geq a_N$. Comme au bout d'un moment on aura forcément $a_n <\epsilon$, ma contraposée se réduit à :
\[
\forall N, \, \exists n\geq N \textrm{ tel que } a_n \geq a_N.
\]

Est-ce que ceci contredit le fait que $a_n$ tend vers zero ?

Merci d'avance.

tonio0

Ok je suis bête. Si $\forall N,\ \exists n\geq N$ tel que $a_n \geq a_N$ alors il est facile d'extraire une suite extraite qui est croissante, ce qui contredit l'hypothèse que ma suite tend vers zéro.

[La case LaTeX. AD]

christophe c

ERROR

tonio0

Merci Christophe. Mais dans ton cas on sais que pour tous les $n$ pairs, le terme suivant est plus grand. Mais ma contraposée dit que pour tout $n$ on doit pouvoir trouver un terme suivant plus grand. Avec ta suite je pense que au bout d'un moment ça ne devrait pas pouvoir être le cas pour les $n$ impairs?

christophe c

Non, mais ton énnoncé est faux* pour certaines suites (ie son contraire (pas "contraposée" lol !!! ) est vraie pour certaines suites), et c'est tout.

Maintenant, si tu veux aller plus loi dans un sens "vrai", tu as le théorème de Ramsey (qui ne se cantonne pas à pair/impair) mais qui t'annonce que si $u$ tend vers $0$ en étant strictement positive, il existe une suite extraite strictement décroissante qui tend vers $0$, etc, etc, mais c'est une aute affaire

* prends $u(2n):=1/2n$ et $u(2n+1):=1/n$ par exemple

ERROR

marco

Bonjour,
Si $(a_n)$ tend vers $0$, pour tout $\epsilon$, il existe $N_0$ tel que $n \geq N_0 \implies a_n < \epsilon$. Soit $N_1 >N_0$ tel que $n \geq N_1 \implies a_n \leq a_{N_0}$. Soit $a_N= \sup \{a_{N_0},a_{N_0+1}, \ldots, a_{N_1-1},a_{N_1}\}$ alors $N$ vérifie bien $n \geq N \implies a_n < \epsilon$ et $a_n \leq a_N$.

christophe c

-D

à tous les deux, il faudrait vraiment mettre tous vos quantificateurs. C'est marrant, vous les oubliez aux mêmes endroits, que je mets en gras:

je note S l'ensemble des suites positives qui tendent vers 0.

l'énoncé en question est-il: pour toute u dans S, pour tout $e>0$ il existe un entier N tel que pour tout entier $n\geq N: (u(n)\leq e$ et $u(n)\leq u(N))$ ?

Ah pardon, oui, je n'avais pas du tout lu correctement !!!!!!!!!! ton énoncé est vrai je m'en vais barrer mes remarques erronées!!!

[Evite d'abuser des polices XXL. j]

[size=x-small]pardon Jacquot [/size]

tonio0

Je pense que c'est la mode anglo saxone de ne pas avoir mis le "pour tout entier" $n \geq N$. Je me souviens avoir été un peu confus par la façon d'utiliser les quantificateurs quand je suis arrivé pour la première fois en Angleterre. En tout cas merci à vous deux !

christophe c

Bin pour le coup de rien (de ma part). Le genre auquel appartient ta question peut éventuellement faire que le théorème de Ramsey te plaira bien, je vais faire un edit et te mettre un lien wiki

edit: https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_de_Ramsey