Diviser une sphère en surfaces égales

Y.3

Bonjour,

Je suis confronté au problème suivant.
Dans le cadre de la programmation d'une simulation physique, je dois construire un certain nombre (disons $N$) de points sur une sphère de rayon $r$ de telle sorte qu'ils délimitent tous des portions de sphère de même surface. Même si $N$ est assez élevé, il ne l'est pas assez pour assimiler les portions de sphère à des éléments d'aire (quadrilatères) en pratique.

Le paramétrage classique cartésien $x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}$ ne me parait pas pratique à manipuler pour des questions d'aire.
J'ai pensé au paramétrage sphérique mais on se rend compte assez vite que si on prend un pas fixe pour $\theta$ (j'appelle $\theta$ l'angle variant dans $[-\pi,\pi]$ et $\phi$ le second) ça ne marche pas, puisque un élément d'aire dépend de $sin(\phi)$ (on va avoir beaucoup de points très proches aux pôles, et ils seront éloignés à l’équateur).

En écrivant l'aire délimitée par 4 points consécutifs séparés par des pas respectifs de $\delta \theta$ et $\delta \phi$, j'ai trouvé $r^{2} d\delta \theta \big( cos \phi - cos ( \phi + \delta \phi ) \big)$ ce qui peut donner une expression de $\delta \theta$ en fonction du reste, Si on considère qu'on garde le même $\delta \phi$ tout le temps.

Ceci dit je ne suis pas sûr des calculs et ça me parait un peu compliqué comme technique, Je voulais savoir si je ne manquais pas quelque chose de simple ou si un autre paramétrage courant ne permettait pas de faire ça beaucoup plus facilement (projection stéréographique ? etc...)

Merci d'avance pour vos réponses.

Zo!

Ca me fait penser à ça : un ancien fil.

jydu56

Je te fais un commentaire naïf : ton problème me fait penser à un ballon de football...
Je considère le polyèdre inscrit dans la sphère constitué de pentagones adjacents : peut-on 'approcher' la sphère aussi près que l'on souhaite en augmentant le nombre des pentagones ?
Ces pentagones sont-ils une réponse à ton problème ?

Y.3

Merci pour vos réponses !

Zo!, je n'ai pas tout regardé en détail pour l'instant mais même si ça part d'un problème de proba, il y a effectivement l'air d'avoir sur la fin des discussions intéressantes sur les projections qui conservent ou non les rapports d'aire, je vais regarder tout ça en détail.

jydu56 a écrit:

Je considère le polyèdre inscrit dans la sphère constitué de pentagones adjacents : peut-on 'approcher' la sphère aussi près que l'on souhaite en augmentant le nombre des pentagones ?
Ces pentagones sont-ils une réponse à ton problème ?

J'ai également pensé au polygone inscrit. Mais mon problème concerne une implémentation numérique concrète, et je n'ai pas forcément la liberté de "passer à la limite", càd d'utiliser un nombre de point arbitrairement grand et donc des surfaces arbitrairement petite (le nombre de points est imposé par d'autres considérations). Or si on reste avec un nombre de points limité, avec des pentagones, les portions de surfaces sphériques délimitées par les points ne sont pas égales (en fait c'était un peu le sens de ma remarque peut être un peu obscure "il ne l'est pas assez pour assimiler les portions de sphère à des éléments d'aire (quadrilatères) en pratique.")

Merci en tout cas, j'actualiserai après avoir creusé un peu le topic donné par Zo!

P5

Peux tu préciser ce que tu entends par délimiter des aires par des points sur la sphère?
Par deux points on fait passer un grand cercle et après? Veux tu paver la sphère par des polygônes? des polygônes convexes? des triangles (sphériques)? Le nombre $N$ est il impérativement fixé ? On peut résoudre ton problème en coupant la sphère par des tranches de melon à partir des pôles nord et sud: pourquoi est ce interdit?

Y.0

Bonjour,

Je vais essayer de reformuler plus proprement mon probleme.
Je veux paver une sphere par N petites surfaces de meme aire. N peut varier de quelques unites sans probleme mais son ordre de grandeur reste impose (+- 20\%\ par ex, en pratique N est de l'ordre de $30r^{2}$ et $r$ va de $0.5$ a $10$) . Meme si a priori les surfaces peuvent etre quelconques, il serait souhaitable qu'elles soient simples en pratique (triangles/polygones/quadrilateres spheriques) car j'ai besoin de pouvoir calculer rapidement leur barycentre.

Concernant la tranche de melon, instinctivement ca ne convient clairement pas, il faut que les surfaces soient reparties a peu pres uniformement sur la sphere, dans toutes les directions. Je sais pas trop comment formaliser ca precisement, par exemple on pourrait demander qu'un cercle quelconque de rayon $r$ sur la sphere traverse toujours a peu pres le meme nombre de surfaces independamment du cercle choisi (avec la solution du melon, si on prend un meridien on en coupe que deux, si on prend l'equateur on les coupe tous). Inuitivement ca correspond a l'idee qu'il ne doit pas y avoir de "direction privilegiee", que les dimensions caracteristiques doivent etre les meme dans toutes les directions.

Je suis desole si la formulation est parfois un peu floue, mais ca correspond a une situation pratique et je ne veux pas trop vous imposer de modelisation rigide a priori, je prefere insister sur les contraintes et laisser les gens proposer des solutions.

Si vous voulez plus d'info sur le contexte, ca correspond a une simulation en mecanique des fluides via la Latice Boltzman Method. Ca ressemble a un automate cellulaire (sauf que les etats sont continus), a chaque pas on calcule diverses quantites en les points d'un reseau (en gros les points de la forme (k,l,r) avec k,l,r entiers relatifs, bornes par un nombre M disons puisque la cavite est de taille finie) qui representent des "tas" de particules du fluide.
J'ai une particule solide spherique immergee dans ce fluide, qui elle est libre de se deplacer avec des coordonnees relles. Pour calculer les interactions fluide/particule a chaque pas, il faut effectuer des calculs a l'interface, c'est a dire sur la surface de la sphere, la ou a priori aucune quantite n'est definie. Pour ca, il faut decouper la sphere en un nombre fini de petite surfaces de meme aire (pour des questions de symetrie et que j'utilise l'aire dans des calculs), avec en leur centre un point en lequel on interpole des valeurs grace aux noeuds voisins du reseau. Dans le cas des tranches de melon, l'interpolation (qui est definie par rapport au centre, et non a la forme de la surface) n'impliquera que des points voisins de l'equateur et pas ceux pres des poles, induisant une asymetrie non souhaitable (physiquement injustifiee). Quelque part il faut que le decoupage soit assez localise spacialement et istrope pour que l'interpolation depuis les points du reseau reste raisonnable.

jacquot

Bonjour,

Tu pourrais t'inspirer des projections géographiques équivalentes: elles conservent les aires. Je te propose un découpage en quasi-rectangles de longueurs $\Delta L$ et de largeur $\cos l.\Delta l$ où $L$ et l$l$ désignent la longitude et la lattitude au sens géographique.

Cependant, ça canulera un peu à l'approche des pôles où tes rectangles vont considérablement s'amincir, à l'instar des régions arctiques ou antarctiques sur les cartes en projection cylindrique équivalente de Lambert.

Tu peux aussi t'inspirer de la projection équivalente de Peters.
Qu'en penses-tu?

P5

Le plus simple est que tu t'inspires des balles de golf, qui comprennent 12 pentagones et un certain nombre d'hexagones (20 pour le ballon de foot, 220 pour les balles de golf courantes, mais d'après Wikipedia 'balles de golf' il peut y en avoir plus. Wikipedia donne un lien vers leur design mathématique.

Y.3

Merci à tous pour vos réponses.

En effet les propriétés de la transformation de Peters ont l'air intéressantes, je vais regarder ça.
Si ça ne donne rien, je pense m'orienter finalement vers quelque chose comme la balle de golf, ou des design avec des polygones inscrits, même s'ils ne garantissent pas formellement l'égalité des aires délimitées, je devrais pouvoir me débrouiller pour que l'écart reste raisonnable en pratique.

V_incent

Bonjour,

je ne sais pas si ce problème reste d'actualité pour Y.
Il y a une abondante littérature sur ce sujet (Best-packing problem, Tammes's problem, hard-sphere problem, sphere tessellation, Centroidal Voronoi Tessellation...).

Un article que je trouve simple, clair et court sur le sujet:
Edward Saff et Arno Kuijlaars, Distributing Many Points on a Sphere, The Mathematical Intelligencer, Volume 19, Number 1, 1997, pages 5-11.

V_incent

Toujours pour compléter la littérature sur le sujet (et dans la mesure où ça intéresse encore quelqu'un à part moi-même), une solution au problème exact de Y. :
C. Lemaire et J. C. Weill, Partitioning the Sphere With Constant Area Quadrangles, 12th Canadian Conference on Computational Geometry, 2000