triangle équilatéral

kolotoko0

Bonjour,

soit ABC un triangle équilatéral de côté AB = BC = CA = 1.

Soit D le milieu de AB et E le milieu de AC.

On trace le demi-cercle de rayon x , de centre D et entièrement contenu à l'intérieur du triangle ABC.

On trace le segment EF tangent à ce demi-cercle en G avec F appartenant au segment [BC].

On pose BF = y .

Question :
1) pour quelle valeurs de x la construction est possible?
2) exprimer y en fonction de x.

bien cordialement
kolotoko

kolotoko0

Bonsoir,

question1 : il faut x compris entre 0,25 et 0,5, évidemment .

cet exercice est en liaison avec le fameux puzzle de H.Dudeney à propos de la dissection d'un carré en un triangle équilatéral et réciproquement .

bien cordialement

kolotoko

jacquot

Bonjour kolotoko,

A la lecture de ton premier message, on se demandait qu'est-ce qui pouvait motiver un tel calcul. Nous savons bien que tu n'as pas un DM urgent à remettre lundi

Voici un lien vers le puzzle de Dudeney

Amicalement. jacquot

kolotoko0

Bonjour,

merci Jacquot : oui, c'est un peu génial !

pas si facile à décortiquer la fonction x

---

> y

tout plein de Pythagore et d'Al-Kashi

bien cordialement

kolotoko

JLT

Prenons les points $B=(0,0)$, $C=(1,0)$, $F=(y,0)$, $A=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$, $E=(\frac{3}{4},\frac{\sqrt{3}}{4})$. La droite passant par $E$ et $F$ a pour équation
$$(X-y)\frac{\sqrt{3}}{4}-Y(\frac{3}{4}-y)=0$$
ce qui se simplifie en $\sqrt{3}X+(4y-3)Y=\sqrt{3}y$.
La distance de $D=(\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{4})$ à cette droite vaut $|\frac{\sqrt{3}}{4}+(4y-3)\frac{\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3}y|/(2\sqrt{4y^2-6y+3})$, donc $x^2=\frac{3}{16(4y^2-6y+3)}$.

On en tire : $4y^2-6y+3-\frac{3}{16x^2}=0$, et finalement

$$y=\frac{6x-\sqrt{3-12x^2}}{8x}.$$

kolotoko0

Bonjour,

JLT, je confirme ton résultat que j'ai obtenu d'une autre façon.

Dans le puzzle de Dudeney il faut faire x = 1/4 * 3^(1/4).

bien cordialement

kolotoko