Clôture algébrique

Bonjour à tous, je me demande juste un truc : si on a un corps K et une extension algébrique L de ce corps, est-ce que "tout polynôme de K[X] a une racine dans L" implique que L est algébriquement clos ?

Réponses

  • Oui, mais ce n'est pas complètement évident à démontrer. J'ai écrit un petit texte là-dessus, mais il faut d'abord que je le relise.
  • Bon, je le poste...S'il y a des coquilles, merci de me les signaler.

    A noter que j'ai fait comme si le lecteur ne connaissait rien aux extensions séparables, normales, purement inséparables.

    La démonstration en elle-même, si on connait les bases de la théorie des corps, est en fait pas trop longue.
  • En caractéristique 0 il me semble que je sais faire :

    Il suffit de montrer que L est la seule extension finie de L.
    Soit M une extension finie de L.
    Quitte à remplacer M par une extension de M qui est normale sur L, on peut supposer M/L normale,
    donc galoisienne (on est en caractéristique 0). On note G le groupe de Galois de M/L.
    Soit x un élément de M, il est algébrique sur L donc sur K.
    Soit P le polynôme minimal de x sur K.
    Par hypothèse, P admet une racine y dans L.
    Il existe un élément f de G tel que f(y)=x.
    On en déduit que M est égal à l'union des f(L) lorsque f parcourt G.
    Le corps K est infini (car de caractéristique 0) et on sait que, sur un corps infini,
    un espace vectoriel n'est jamais une union finie de sous-espaces vectoriels propres.
    On en déduit qu'un des f(L) n'est pas un sous-espace vectoriel propre de M :
    f(L)=M et donc L=M, c.q.f.d.
  • @PB: y a un problème avec ta démo, là:
    Il existe un élément f de G tel que f(y)=x.

    Si $G=Gal(M/L)$ et si $f\in G$, puisque $y\in L$, on a $f(y)=y$, et donc $y=x$. Or, $x$ n'a a priori aucun raison d'être dans $L$...
  • En effet, je corrige : quitte à agrandir M, on peut supposer M normale sur K, puis noter G le groupe de Galois de M sur K.
  • Up, j'avais oublié cette discussion :/

    En y repensant je comprends pas pourquoi c'est pas évident : soit L1 une extension finie de K, L2 sa clôture normale, L2 est le corps de décomposition d'un polynôme de K[X] donc inclus dans L et donc L1 est inclus dans L donc L est une clôture algébrique de K.

    J'ai dit des bêtises ? (pas taper)
  • donc inclus dans L
    Pourquoi ça ?
  • Parce que L contient toutes les racines des polynômes de K[X] non ?
  • Ah, je croyais que l'hypothèse était : L contient au moins *une* racine de chaque polynôme non constant à coefficients dans K.
  • Ah bah oui rien ne nous assure que L est normale...


    En supposant L normale c'est OK ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.