point de Feuerbach

Bonjour,

un classique de la géométrie du triangle : montrer que le point de Feuerbach F appartient au cercle circonscrit du triangle cévien (I1I2I3) du centre I du cercle inscrit .

bien cordialement

kolotoko

Réponses

  • Bonsoir,

    Ce n'est pas compliqué avec Morley inscrit quand on sait que le point de Feuerbach est $F(f)$ avec $f=\dfrac{s_2}{s_1}$ et que le pied de la cévienne de $I$ issue de $A$ est $A'(a')$ avec $a'=\dfrac{2s_3}{u^2+vw}$.
    Et le birapport des $4$ points est réel (égal à son conjugué).
    Le centre du cercle cévien $I_1I_2I_3$ est $\dfrac{s_2s_3(s_1^2-2s_2)}{s_1^3s_3 - 6s_1s_2s_3 + s_2^3 + 8s_3^2}$.
    Voilà une figure (les deux cercles ne sont pas tangents) :
    28353
  • Bonsoir
    Avec les coordonnées barycentriques, on a :
    Le triangle de référence :
    $A(1:0:0),$
    $B(0:1:0),$
    $C(0:0:1).$
    Le centre du cercle inscrit :
    $I(a:b:c).$
    Le triangle cévien de I :
    $I_1(0:b:c),$
    $I_2(a:0:c),$
    $I_3(a:b:0).$
    Le cercle circonscrit au triangle cévien de I :
    $a^3 b c x^2 + a^2 b^2 c x^2 - a b^3 c x^2 - b^4 c x^2 + a^2 b c^2 x^2 - a b^2 c^2 x^2 - b^3 c^2 x^2 - a b c^3 x^2 - $
    $b^2 c^3 x^2 - b c^4 x^2 - a^4 c x y + 2 a^2 b^2 c x y - b^4 c x y - a^3 c^2 x y + 2 a^2 b c^2 x y + 2 a b^2 c^2 x y$
    $ - b^3 c^2 xy + a^2 c^3 x y + 2 a b c^3 x y + b^2 c^3 x y + a c^4 x y + b c^4 x y - a^4 c y^2 - a^3 b c y^2 $
    $+ a^2 b^2 c y^2 + a b^3 c y^2 - a^3 c^2 y^2 - a^2 b c^2 y^2 + a b^2 c^2 y^2 - a^2 c^3 y^2 - a b c^3 y^2 - $
    $a c^4 y^2 - a^4 b x z - a^3 b^2 x z + a^2 b^3 x z + a b^4 x z + 2 a^2 b^2 c x z + 2 a b^3 c x z + b^4 c x z $
    $+ 2 a^2 b c^2 x z + 2 a b^2 c^2 x z + b^3 c^2 x z - b^2 c^3 x z - b c^4 x z + a^4 b y z + a^3 b^2 y z $
    $- a^2 b^3 y z - a b^4 y z + a^4 c y z + 2 a^3 b c y z + 2 a^2 b^2 c y z + a^3 c^2 y z + 2 a^2 b c^2 y z$
    $+ 2 a b^2 c^2 y z - a^2 c^3 y z - a c^4 y z - a^4 b z^2 - a^3 b^2 z^2 - a^2 b^3 z^2 - a b^4 z^2 - a^3 b c z^2 $
    $- a^2 b^2 c z^2 - a b^3 c z^2 + a^2 b c^2 z^2 + a b^2 c^2 z^2 + a b c^3 z^2 =0.$
    Le point de Feuerbach :
    $F((s - a) (b - c)^2 : (s - b) (c - a)^2 : (s - c) (a - b)^2).$
    Les coordonnées barycentriques du point de Feuerbach vérifient l'équation du cercle circonscrit au triangle cévien de I . Donc le point de Feuerbach F appartient au cercle circonscrit du triangle cévien $(I_1I_2I_3)$ du centre I du cercle inscrit.
  • Bonjour,

    Bouzar : un peu tirée par les cheveux cette démonstration ou intervient l'équation parachutée d'un cercle comportant 66 termes!

    je pense qu'ici on va pouvoir faire intervenir le théorème de Sollertinski (voir une précédente discussion initiée par Nakkash ).

    bien cordialement

    kolotoko
  • Bonjour
    Comme il a été vu à plusieurs reprises sur ce forum, le cercle podaire et le cercle circonscrit au triangle cévien d'un point d'une hyperbole équilatère circonscrite à $ABC$ passent tous les deux par le centre de l'hyperbole (Poncelet)
    Le centre de l'hyperbole équilatère circonscrite passant par $I$ est le point de Feuerbach puisqu'il est sur les cercles podaires de $H$ (cercle d'Euler) et de $I$ (cercle inscrit).
    Le résultat en découle. Cordialement. Poulbot
  • Bonsoir,

    les cercles exinscrits touchent le cercle d'Euler en Fa, Fb, Fc .

    Les triangles I1I2I3 et FaFbFc sont homologiques de centre F et semblables .

    Par le théorème de Sollertinski , on tire la conclusion voulue.

    bien cordialement
    kolotoko
  • Bonsoir,

    Kolotoko, tu ne démontres rien, sauf à avoir les mêmes présupposés que toi.
    Il n'est pas clair du tout de savoir ce qu'on est supposé savoir être connu, ou évident.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonsoir,

    oui .

    J'indique ce qu'il faut préalablement montrer avant de conclure.

    Bien cordialement

    kolotoko
  • Bonsoir Kolotoko
    Voici une solution avec les coordonnées barycentriques:
    Les points de contact du cercle d'Euler avec les cercles exinscrits :
    Soient $F_a, F_b, F_c$ les points de contact du cercle d'Euler avec les cercles exinscrits.
    Le point $F_A$ :
    $(- (b - c)^2 (a + b + c) : (a + c)^2 (a + b - c) : (a + b)^2 (a + c - b)).$
    Le point $F_B$ :
    $((b + c)^2 (b + a - c) : - (c - a)^2 (b + c + a) : (b + a)^2 (b + c - a)).$
    Le point $F_C$ :
    $((c + b)^2 (c + a - b) : (c + a)^2 (c + b - a) : - (a - b)^2 (c + a + b)).$
    Le triangle cévien de I :
    $I_1(0:b:c),$
    $I_2(a:0:c),$
    $I_3(a:b:0).$
    La droite $(I_1F_A)$ :
    $(-a^2 + b^2 - b c + c^2)x+ (b - c) cy + b (-b + c)z=0.$
    La droite $(I_2F_B)$ :
    $c (-a + c)x+( -a^2 + b^2 + a c - c^2)y+ a (a - c)z=0.$
    La droite $(I_3F_C)$ :
    $b (-a + b)x+ a (a - b)y+(-a^2 + a b - b^2 + c^2)z=0.$
    Un simple calcul de déterminant montre que les triangles $\triangle I_1I_2I_3$ et $\triangle F_AF_BF_C$ sont homologiques de centre le point de Feuerbach $F((s - a) (b - c)^2 : (s - b) (c - a)^2 : (s - c) (a - b)^2)$.
    Les triangles $\triangle I_1I_2I_3$ et $\triangle F_AF_BF_C$ sont semblables.
  • Avec Morley inscrit et le cercle de contact $U(u)V(v)W(w)$, on a que les points de Feurbach $F_a(f_a)$ sont donnés par $f_a=\dfrac{u(-u^4+s_1u^3+3s_3u-s_2^2)}{(s_1u^2+s_3)(2u-s_1)}$ et permutation circulaire et $F\left(\dfrac{s_2}{s_1}\right)$ . Par ailleurs, le point $I_1$ a pour affixe $i_1=\dfrac{2s_3}{u^2+vw}$ et permutation circulaire. Le reste est calculatoire.
  • Bonsoir,

    On dirait moi, je vais me coucher!

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonjour Kolokoto et à tous,
    un rappel du théorème de Sollertinski et peut être une référence....
    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Bonjour
    Lemme de Sollertinski :
    Soit $f$ une application affine ayant un point fixe $O.$
    Soit $L$ une droite telle que $f(L)$ n'est pas parallèle à la droite $L.$
    Soit $D$ une droite quelconque du faisceau de droites parallèles à la droite $L.$
    Soit $M$ le point d'intersection entre $D$ et $f(D)$.
    Alors le lieu du point $M$ lorsque la droite $D$ parcourt le faisceau de droites parallèles à la droite $L$ est une droite $\Delta$ passant par le point fixe $O$ de $f.$
  • J'ai utilisé ce lemme un nombre incalculable de fois dans tous les fils que j'ai consacrés à l'étude des points fixes d'une application affine.
    Amicalement
    Pappus
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