Série de Fourier

clemclem

Bonjour,

On sait qu'il existe des sommes "qui ressemblent" à des séries de Fourier (par exemple $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{\log(n)}$ cf Analyse pour l'Agregation de Zuily-Queffélec édition Dunod) qui ne sont pas des séries de Fourier dans le sens où on ne peut pas trouver de fonction $L^1$ telle que $b_n(f)=1/\log(n)$.

Cependant si on note $f$ la limite simple (presque partout définie) de $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{\log(n)}$, $f$ peut-elle être une fonction $L^1$ ?

Ou plus généralement, peut-on trouver une série qui ressemble à une série Fourier qui est égal à une série de Fourier ?
Merci d'avance

Mister Da

Bonjour clemclem,

dans ta somme il y a $k$ et $n$, je suppose que c'est une faute de frappe et il faut voir du $n$ partout ?

Si tel est le cas, ce qui m'intrigue est qu'il y a visiblement une division par zéro dans le premier terme de la somme.

Sauf erreur, en partant de 2, la série $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{b_n}{n}$ étant divergente, $\sum_{n=2}^{\infty} b_n \sin(nx)$ n'est pas la série de Fourier d'une fonction intégrable.

Cordialement,
Mister Da

clemclem

Effectivement, de nombreuses fautes de frappe étaient présentes.

Je ne comprends pas la dernière phrase, pourrais-tu en dire un peu plus ? Et concernant la deuxième question ?

Mister Da

Ca serait bien qu'un autre phorumeur vienne confirmer car je n'ai pas un super niveau, voici ce que je me suis dit :

Toute fonction $f$ périodique impaire et intégrable est développable en série de Fourier dont l'expression est $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx)$. Dans le pire des cas (quand la fonction est discontinue mais continue par morceaux) les coefficients sont $b_n=o(\frac{1}{n})$ $\Rightarrow $ $\frac{b_n}{n}=o(\frac{1}{n^2})$ donc la somme des $\frac{b_n}{n}$ converge. Il me semble que c'est un conséquence du théorème de convergence de Dirichlet.

On a alors $f\in L^1\Rightarrow \sum \frac{b_n}{n} <\infty$ et en prenant la contraposée $\sum \frac{b_n}{n} \to \infty \Rightarrow f\not\in L^1$.

En espérant ne pas avoir dit trop de bêtise.

Pour la deuxième question... je n'ai pas saisi le sens. Au final quand tu parles d'une somme qui "ressemble" à une série de Fourier, tu veux parler d'une série trigonométrique ? ou y a-t-il une nuance supplémentaire ?
Peut-on la reformuler par : est-ce que une série trigonométrique égale presque partout à une série de Fourier est une série de Fourier ? Dans ce cas je suis furieusement tenté de penser que oui et que c'est elle-même mais c'est juste une intuition.

Cordialement,
Mister Da

clemclem

Selon moi ta preuve n'est pas correct (car une fonction $L^1$ peut être bien pire que continue par morceaux). Cependant le résultat est vrai pour des coefficients de Fourier positifs, c'était en fait la première question de l'exercice du livre de Zuily-Quéffelec.

Cependant quand les coefficients ne sont pas positifs, je me demande si le résultat ne tombe pas à l'eau et si une série trigonométrique égale presque partout à une série de Fourier est une série de Fourier.

Quelqu'un en saurait-il plus ?

Mister Da

Oui, je suis allé trop vite les conditions de Dirichlet sont suffisantes (mais \textit{a priori} pas nécessaires) et en plus je voulais dire $C^1$ par morceaux.

Pourrais-tu mettre en pdf le passage du livre de Zuily-Quéffelec ?

Voici une variante : soit $f(t) = \sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nt)$ une fonction $2\pi$-périodique et impaire.

Si $f$ est intégrable alors la fonction $F(t) = \int_0^tf(\tau)\mathrm{d}\tau$ est $2\pi$-périodique, continue et, $f$ étant impaire, $F$ est paire. La série de Fourier de $F$ est alors

$$
F(t) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nt)
$$


A l'aide d'une intégration par parties on a $\forall n\geq1$ : $a_n = -\frac{1}{n}b_n$.

Comme $F$ est continue, sa série de Fourier doit converger partout. En se plaçant à $t=0$ on a donc que $\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(n0) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{n}$ doit converger.

Ça doit mieux tenir la route non ?

Cordialement,
Mister Da

clemclem

Bonjour,

Je ne possède pas le passage en pdf. Désolé.

L'assertion " Comme $F$ est continue, sa série de Fourier converge partout" est fausse...Le fait que $\Sum \frac{b_n}{n}$ converge utilise le fait que $a_n\ge 0$ (théorème V.1 vii) du livre de Zuily-Quéffelec : si $f$ est continue et que $\forall n,c_n(f)\ge 0$ alors $(c_n)\in l^1$ (la preuve utilise le théorème de Fejér et le lemme de Fatou)).

La question reste donc entière...que se passe-t-il pour une série trigonométrique (à coefficients de signe variable ou complexes) qui n'est pas une série de Fourier et qui converge presque partout vers une fonction $h$, $h$ peut-elle être $L^1$ (et donc admettre une série de Fourier) ?

Merci.

Mister Da

Bonjour,

Ce que j'ai dit reste-t-il faux si $F$ est absolument continue (encore faut-il que ce soit vrai et savoir le montrer) ?

En effet, si $F$ est absolument continue alors elle est a variation bornée (ici) et dans ce cas la conclusion doit suivre en utilisant le théorème de Jordan (là, en bas de page).

Cordialement,
Mister Da

ps : $c_n(f)\ge 0$ signifie que la partie réelle est positive ou nulle ?

clemclem

Bonjour,

$F$ est absolument continue et avec les théorèmes cités, cela fonctionne.

Cela permet de régler le cas $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{\log(n)}$, mais que se passe-t-il alors dans le cas général ?

En particulier, peut-on imaginer une série trigonométrique (mettons de la forme $\sum_{n\ge 1} b_n \sin(nx)$ qui converge presque partout (il suffit de prendre n'importe quelle suite qui tend en décroissant vers $0$) avec $\sum_{n\ge 1} \frac{b_n}{n}<\infty$ et qui ne soit pas issue d'une fonction $L^1$ ? Et dans ce cas la somme est-elle $L^1$ ?


(Dans mon message précédent, $c_n(f)\ge 0$ signifie que $c_n(f)\in \mathbb{R}^+$.)

clemclem

Personne ?

Je m'étonne que cette question ne suscite pas plus de réactions car elle me semble naturelle et permettrait d'exiber une égalité entre une série trigonométrique et une série de Fourier sans qu'on puisse identifier les coefficients.

Merci d'avance

Siméon0

Salut Clément,

Je dis possiblement des bêtises, mais il me semble que pour tout $\alpha > 0$ on peut prendre $$
f(x) = \sum_{n \geq 1}\frac{e^{inx}}{n^\alpha} \approx \sum_{n\geq 1} \frac{S_n(x)}{n^{\alpha + 1}}
$$ avec $$
|S_n(x)| = \left|\frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)}\right| \leq \frac{4}{\pi} \frac{|\sin(nx/2)|}{|x|},\qquad (-\pi < x < \pi)
$$ La série trigonométrique définissant $f$ n'est pas une série de Fourier si $\alpha \leq \frac{1}{2}$, mais pourtant la fonction $f$ est dans $L^1([-\pi,\pi])$ car ${\|S_n\|}_{L^1} = O(\ln n)$.

clemclem

Je vais vérifier les détails. Si cet exemple si simple est bon, je trouve dommage qu'on ne le voit pas si souvent dans des cours sur les séries de Fourier.

PS : Se connaît-on Siméon ?

Siméon0

Hmm, je ne suis finalement pas du tout sûr de « la série trigonométrique définissant $f$ n'est pas une série de Fourier si $\alpha \leq \frac{1}{2}$ ». Je ne sais pas pourquoi, j'avais en tête « série de Fourier d'une fonction $L^2$ » quand j'ai écrit mon message. C'est beaucoup moins clair ici...

Voir tout de même l'exercice 27 de http://michel.quercia.free.fr/series/fourier.pdf qui s'intéresse au cas $\alpha = \frac{1}{2}$.

PS. Si je ne me trompe pas, je crois bien qu'on se connaît, oui

clemclem

L'exercice de Michel Quercia fournit un contre-exemple $L^2$ malheureusement.