caractérisation des lois par les moments

Bonjour

J'ai deux questions sur la caractérisation de la loi d'une variable aléatoire et celle d'un vecteur aléatoire à partir des moments.
Plus précisément :
1° Etant donnée une variable aléatoire $X$ positive ayant des moments de tout ordre $q>0, $ les valeur $\mathrm{E}X^q$ caractérisent-elles la loi de $X$ ? Y a-t-il des conditions plus faibles (du style $\mathrm{E}X^q$ pour tout $0<q<1$) ?
2°Etant donné un vecteur aléatoire $(X_1,X_2,\dots,X_k),$ où les $X_i$ sont positifs, les valeurs $\mathrm{E}X_1^{q_1}X_2^{q_2}\dots X_k^{q_k}$, les $q_i$ étant des réels positifs, caractérisent-elles la loi du vecteur ?

Ma question vient de ce que je veux prouver l'existence d'n processus pour lequel je maîtrise bien les moments, mais pas la fonction caractéristique (j'utiliserai le critère d'existence de Kolmogorov).
Je connais le critère habituel avec les moments entiers (de mémoire $\sum \left(\mathrm{E}X^{2k}\right)^{1/2k}<\infty$), mais il est trop restrictif à mon goût et mal adapté à la situation dans laquelle je travaille.

Merci pour votre aide.

Réponses

  • La loi lognormale n'est pas caractérisée par ses moments (le moment d'ordre $n$ est $e^{n^2/2}$). Il y a d'autres contre-exemples. Je n'en sais pas beaucoup plus mais en googlant "moment problem" tu trouveras certainement pas mal de choses.

    PS : ta condition est sans doute fausse mais tu pensais sans doute à la condition de Carleman.
  • Oui, c'est la condition de Carleman. Je l'ai dans un livre, mais je n'ai pas vérfié avant de l'écrire.
    Je vais regarder "moment problem" sur google...
  • J'ai lu l'article de Google et le contre-exemple avec la loi log-normale.
    La différence avec mon problème est que moi j'ai des moments réels positifs (et non forcément entiers). Je pensais qu'une histoire de prolongement analytique pouvait s'appliquer...
  • Je n'avais pas fait attention que tes $q$ n'étaient pas entiers. Tu connais donc une bonne partie de la transformée de Laplace de $\ln(X)$. Ça donne de nouveaux mots clés mais je n'en sais beaucoup plus.
  • Si $X=e^Y>0$ la connaissance pour tout $q\in (0,q_0)$ de $L(q)=\mathbb{E}(X^q)=\mathbb{E}(e^{qY})$ donne la connaissance de la loi $\mu$ de $Y$ et donc de la loi de $X.$ En effet $q\mapsto L(q)$ est analytique réelle dans $(0,q_0)$ et prolongeable de facon unique en une fonction analytique $L(z)$ sur la bande $0<\Re z<q_0$ (principe des zéros isolés). La fonction $t\mapsto L(it+\frac{q_0}{2})$ est la transformée de Fourier de la mesure bornée
    $e^{yq_0/2}\mu(dy)$ qui est donc complètement déterminée par la connaissance de $L(q).$ Donc $\mu$ est connu.
  • Nouveau mot-clé : transformée de Mellin http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_de_Mellin.
  • Merci pour vos réponses.

    Le problème que j'ai avec le raisonnement de P est que ma variable X peut prendre la valeur 0, donc je n'ai pas droit au log. Mis à part cela, ta démonstration est très bonne.

    La transformée de Mellin règle le problème, puisqu'il est dit sur l'article anglais de wikipedia qu'elle détermine de façon unique la distribution de X.

    Il reste le cas du vecteur aléatoire $(X_1,X_2,\dots,X_k),$ où les $X_i$ sont positifs : les valeurs $\mathrm{E}X_1^{q_1}X_2^{q_2}\dots X_k^{q_k}$, les $q_i$ étant des réels positifs, caractérisent-elles la loi du vecteur ?
    Je vais y réfléchir à partir des infos que vous m'avez données.

    Encore merci.
  • Franchement, si $p=\Pr(X=0)>0$ ce n'est pas un problème, car $p$ se calcule par $1-p=L(0)$ et le raisonnement précédent s'applique à $X_1=X|X>0$ dont la loi de probabilité est $\nu_1=\frac{1}{1-p}\nu$ si $X\sim \nu.$ La TF de Mellin de $\nu_1$ est $L(q)/(1-p).$

    A plusieurs dimensions, pareil si les $X_j>0$ car si $$L(q_1,\ldots,q_d)=\mathbb{E}(X_1^{q_1}\ldots X_d^{q_d})=\mathbb{E}(e^{q_1Y_1+\cdots+q_dY_d})$$ converge dans un ouvert $U$ de $\mathbb{R}^d$ alors il existe une fonction analytique unique $L(z_1,\ldots,z_d)$ dans $U+i\mathbb{R}^d$ qui prolonge $L(q_1,\ldots,q_d).$ Cela te donne la TF de Fourier de $e^{\langle Q,y\rangle}\mu(dy)$ si $(Y_1,\ldots,Y_d)\sim \mu$ et si $Q\in U$ et cela prouve que $\mu$ est déterminé par $L.$

    Si certains $X_j$ sont nuls avec probabilité positive, c'est plus embêtant. Prenons $d=2$ pour simplifier. Soit
    $p_j=\Pr(X_j=0)$ et $p=\Pr(X_1=X_2=0)$ (je te laisse imaginer comment les calculer comme limites de $L(tq_1,tq_2)$ quand $t$ tend vers zéro). Alors $\Pr(X_1>0,X_2>0)= 1+p-p_1-p_2$ et on détermine la loi de $X_1,X_2$ restreinte à $(0,\infty)^2$ comme ci dessus. Ensuite il faut trouver la loi de $X_1$ restreinte à $(0,\infty)\times \{0\}$ au moyen de $L(q_1,0)=\mathbb{E}(X_1^{q_1}1_{X_2>0}).$ Il faut un peu de patience et de soin pour mettre debout la démonstration, mais comme tu as l'air de te satisfaire de la boîte noire de Wikipédia, tu peux t'en passer.

    [Merci à H pour la correction du LaTeX. :) AD]
  • Ok, merci.
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