Opérations sur les p-adiques

Salut à tous, j'ai eu une petite introduction aux nombres p-adiques. J'ai appris plein de trucs sur la topologie de cet anneau mais je viens de me rendre compte que je ne sais comment effectuer les opérations + et * entre 2 p-adiques :D

Concrètement si on me donne a = (a1,a2,a3,.....) et b=(b1,b2,b3,.....)

Comment je calcule a+b et a*b ?

Réponses

  • Ah bah oui, merci, je m'y suis pris comme un manche pour chercher...
  • La notation a = (a1,a2,a3,...) est un peu énigmatique.
    En fait, un nombre $p$-adique s'écrit en base $p$ comme une suite de chiffres finie à droite après la virgule, et possiblement infinie à gauche. Deux tels nombres s'additionnent comme des nombres habituels écrits dans une base, en posant l'addition comme on faisait jadis à l'école primaire, chiffre à chiffre, avec retenue.
    Un tel nombre se multiplie par un chiffre de m\^eme.
    Et il se multiplie par un autre nombre en posant la multiplication comme on faisait jadis à l'école primaire, sauf qu'on a ici une infinité de termes. Mais en raison du décalage d'un cran vers la gauche à chaque chiffre, on n'a, pour chaque chiffre, qu'un nombre fini de termes.
    Cherchez par exemple à multiplier ...11111 par lui-m\^eme, dans $\Q_{5}$.
    On peut opérer de m\^eme sur des nombres $g$-adiques, où l'entier $g\geq 2$ n'est pas nécessairement premier, simplement, l'ensemble $\Q_{g}$ ne sera plus un corps, ce ne sera qu'un anneau non intègre.
    Voir par exemple : Les nombres dix-adiques, Pour la Science n° 104, juin 1986.
    Bonne soirée.
    RC

    [Quand ton clavier renâcle, \verb=\^e= permet d'avoir un bel "\^e". ;) AD]
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