Les défis Mathématiques du monde,épisode V

sadfub0

en numérotant les ficelles : j'associe à 1 la ficelle nouée à 1 en haut (par exemple i) puis j'associe à i la ficelle nouée à i en bas et ainsi de suite: est ce bien un dérangement ?

aléa

Ta définition n'est pas claire. Le diable est dans le "ainsi de suite". Que fais-tu si tu reviens en $1$ avant d'avoir épuisé la liste des fils ? Et surtout, même si tu fixes une convention pour la suite, comment contrôler la loi de ton dérangement. Il est assez peu vraisemblable que le procédé décrit (enfin tel que je l'ai compris) induise la loi uniforme sur les dérangements.

sadfub0

ainsi je vois le" diable" avec ces dérangements : Merci aléa

Raymond Cordier

@ BlackBird
Comme corollaire sympa du Théorème de la Limite Centrée, je connais : $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\Big(e^{-n}\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\frac{n^{k}}{k!}\Big)=\frac{1}{2}$, mais non Stirling. J'aimerais en savoir plus.
Merci.
RC

BlackBird0

@Raymond Cordier : L'exercice 2 de cette planche est consacré à cette question. On trouve aussi cette démonstration dans le livre "Probability and random processes" de G. Grimmett et D. Stirzaker, bien que je sois incapable de citer le chapitre où la chercher.

aléa

Voici l'exercice tel que nous l'avons proposé dans [GK].

\emph{Une preuve probabiliste de la formule de Stirling.}\\
Soit $(X_n)_{n\ge 0}$ une suite de variables aléatoires indépendantes
suivant la \indexno{loi exponentielle} de paramètre 1.
On pose
$$S_n={\sum}_{k=0}^n X_k.$$
\begin{enumerate}
\item Soient $(Y_n)_{n\ge 1}$ une suite de variables aléatoires convergeant en loi vers une variable aléatoire $Y$, $(a_n)_{n\ge 1}$ et $(b_n)_{n\ge 1}$ des suites de réels convergeant respectivement vers les réels $a$ et $b$.
Montrer que la suite de variables aléatoires $(a_n Y_n+b_n)_{n\ge 1}$ converge en loi vers la variable aléatoire $aY+b$.
\item Montrer que $\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}$ converge en loi vers la loi $\mathcal{N}(0,1)$.
\item Montrer que $S_n$ suit la loi $\Gamma(n+1,1)$\index{loi Gamma}. En déduire que la densité de
$\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}$ s'écrit $g_n(x)=a_n h_n(x)$, avec
$$a_n=\frac{n^{n+1/2}e^{-n}\sqrt{2\pi}}{\Gamma(n+1)}$$ et
$$h_n(x)= \frac1{\sqrt{2\pi}} e^{-\sqrt{n}x} \left(1+\frac{x}{\sqrt n}\right)^n\ 1_{[-\sqrt{n},+\infty[}.$$
\item Montrer que
$$\lim_{n\to +\infty} \int_0^1 g_n(x)\ dx=\int_0^1 \frac1{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}2}\ dx.$$
\item Montrer que
$$\lim_{n\to +\infty} \int_0^1 h_n(x)\ dx=\int_0^1 \frac1{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}2}\ dx.$$
\item En déduire la formule de Stirling~: $$n!\sim \sqrt{2\pi} n^{n+1/2}e^{-n}.$$
\end{enumerate}

On le trouve aussi sous une forme assez proche dans Foata Fuchs. C'est depuis pas mal de temps un classique de l'oral de l'agrégation, suffisament classique pour que des rapports d'agreg mentionnent que des candidats disent "TCL entraîne Stirling" sans autre forme de procès.

Nous l'avons mis dans notre livre parce que c'est un classique, néanmoins je ne le mettrais pas dans la liste des plus belles preuves probabilistes, car si on compare cette preuve avec la preuve "à la Laplace" que j'ai indiquée, la preuve "à la Laplace" n'est pas plus compliquée.
Au centre des deux preuves, il y a un changement de variable intelligent, et la différence entre les deux,
c'est que le TLC remplace l'emploi du théorème de convergence dominée sur un intervalle non-borné: c'est tout de même un peu le marteau-pilon pour tuer la mouche.

aléa

Je me rends compte que Blackbird propose une preuve différente, avec des Poisson au lieu des exponentielles.
C'est aussi très astucieux. On a donc deux manières différentes de déduire Stirling du TCL.

Siméon0

L'approche de la formule de Stirling par la loi de Poisson avait déjà été traitée sur le forum, ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,751803,751803#msg-751803

@aléa. D'ailleurs c'est drôle que tu ne t'en souviennes plus alors que tu y avais participé.

Notons que, toujours avec des variables de Poisson, il y a une preuve moins astucieuse de la formule de Stirling qui passe par le théorème central limite local.

Raymond Cordier

@ aléa
Revenons sur les preuves de la formule de Stirling.

J'ai tardé à répondre car je me suis trouvé très perplexe devant cette distinction entre maths pour prépas et ... autres (?), et l'idée de leur "métissage" (!). Les médias du système nous saoûlent suffisamment avec la promotion de ce "métissage" pour que je ne sois pas agacé par son irruption dans le champ mathématique. Mais c'était sans doute pour blaguer, et moi je marche, je suis bon public ...
[ [small]Par parenthèse, les dictionnaires définissent ledit "métissage" comme le "mélange des races" ; la suppression du mot "race" étant prévue par nos autorités, on se demande de quoi le métissage sera le mélange ...[/small] ]
Mais passons.

J'ai bien aimé l'article de Feller qu'on nous a fourni, avec ses références à Artin, deux mathématiciens que j'admire. En fait, sa "self-contained and conceptual" preuve procède selon le schéma classique. Il donne un calcul d'une évaluation asymptotique comprenant une certaine constante $C$, comm' d'hab', et ensuite, il détermine cette constante, puisque, comme il dit : "It is just a lucky circumstance that $C$ reduces to a familiar constant" : j'ai émis moi-même cette idée dans un de mes messages plus haut.

Simplement, les deux parties de cette démonstration sont traitées différemment de la manière habituelle, ce qui est toujours intéressant.

Surtout la seconde partie, qui détermine la constante sans référence aux intégrales de Wallis, mais avec le produit eulérien pour le sinus, l'intégrale de Dirichlet $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\ln \sin \theta d\theta $, et pour finir, une équation fonctionnelle : que du bonheur . Mais on aura du mal à me convaincre que c'est plus simple que la démonstration par Wallis.

Par auilleurs, je suis allé regarder dans le beau traité de Godement, "Analyse mathématique". En page 251 du tome II, après avoir établi la formule avec constante $C$, il détermine cette constante avec Wallis, même s'il regrette que "la méthode n'est pas particulièrement transparente", ce qui ne veut pas dire grand'chose en la circonstance. Serait-il "taupinal", Godement ?

Bon j'en ai assez dit. La suite cet après-midi.
Bien cordialement,
RC

NB Qu'est-ce que le [GK] ?

aléa

@Siméon : Damned ! Mais, bon, ça ne m'étonne pas trop. J'ai cablé dans la tête que TLC->Stirling passe par les exponentielles, et c'est toujours difficile de modifier des cablages anciens, on le voit bien avec nos étudiants.

Siméon0

@Raymond Cordier.
As tu vu ce message ? http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,834603,835068#msg-835068

aléa

@RC: [GK] = Garet-Kurtzmann

http://www.iecn.u-nancy.fr/~garet/livre.php

J'essaie de ne pas donner tout le temps notre livre en référence, pour ne pas passer pour un vil mercanti. En même temps, c'est un peu difficile pour moi de ne pas y penser spontanément. Tous les énoncés que j'ai donnés dans ce fil en sont extraits.

BlackBird0

Mais on aura du mal à me convaincre que c'est plus simple que la démonstration par Wallis.

Personne n'a jamais prétendu le contraire, il s'agissait avant tout de montrer qu'il existe des preuves différentes. Je pense néanmoins que la méthode "à la Laplace" reste suffisamment élémentaire pour pouvoir concurrencer celle avec les intégrales de Wallis.

Luc Aran

Blackbird a écrit:

Je pense néanmoins que la méthode "à la Laplace" reste suffisamment élémentaire pour pouvoir concurrencer celle avec les intégrales de Wallis.

Certes, mais elle est moins taupinale !

AitJoseph

Bonjour

Voilà la réponse au défi de la corde gagnante http://www.lemonde.fr/sciences/video/2013/05/02/les-defis-mathematiques-du-monde-reponse-de-l-episode-5-les-cordes-gagnantes_3170181_1650684.html

h

Dommage qu'il n'y ait que des vidéos, ça ne me donne pas envie de regarder.