Les défis Mathématiques du monde,épisode V
Réponses
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Bonjour
Très facile quand on a trouvé le bon angle d'attaque
Domi -
La réponse ici n'aide pas trop les autres à trouver la stratégie de dénombrement mais je vais pas l'écrire au cas où... Je trouve un nombre très proche de $\frac{1}{2}$, pas vous?
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Tiens, tiens, le camarade Jean-Hervé Cohen, grand chef du SNES, fait des ménages !?
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Je savais pas cette règle, mais de toute façon j'ai pas donné de réponse. Je vais être encore plus vague en disant que je suis sûr que la réponse est un nombre compris entre 0 et 1...
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Bonsoir
C'est un défi de prestidigitation Mathématique,quand il noue les cordes,il va vite:S
Quand à la solution des allumettes,alors..... -
L'énoncé n'est effectivement pas complètement explicite. Voici comment je le comprends:
- Il y a 6 cordes, chaque corde à un brin haut et un brin bas
- on soude trois paires de brins (disjointes) dans la partie haute; de même dans la partie basse.
On demandela probabilité d'obtenir un cercle après soudure. -
Oui,mais si on fait attention en jouant au chat et à la souris,avec M Cohen,en ralentissant un peu la vidéo:il y'a 7 bouts en haut et 5 ?
en bas! -
Il y'a une corde qui a ses deux bouts en haut! M Cohen est un cachetier !
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J'ai envoyé mon fils m'acheter six lacets chez le magasin à côté.
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Cette énigme-là, je la trouve mignonne, on la trouve souvent posée comme ça (sur le net, et il me semble l'avoir déjà vue dans un manuel de lycée) :
Non seulement la condition de la femme en Anchourie ne semble guère enviable, mais en plus elle est conditionnée aux aléas du hasard...[size=small]Dès qu'une fille d'Anchourie (pays imaginaire) a 18 ans, elle demande l'autorisation de se marier. L'officier d'état lui place 6 morceaux de ficelle dans la main. De chaque côté du poing fermé, on noue les extrémités deux par deux, au hasard. Si on obtient une boucle fermée (comme un bracelet), la fille reçoit l'autorisation de se marier.
Quelle est la probabilité d'obtenir une boucle fermée ?[/size]
(j'ai l'impression que l'expression "aléas du hasard" est un pléonasme, non ?) -
Mais ça n'a rien à voir avec l'énigme......
Bonne nuit,il est minuit -
Bonjour,
La vidéo présente bien la situation décrite par alea ou par nunuche, ça me paraît clair.
L'exo est sympa et pourrait être repris en classe sous forme d'activité, y compris l'expérimentation. Plutôt pour des lycéens.
Je pense que tu voulais dire cachotier, AitJoseph, sinon je te soupçonnerai de vouloir troller avec RaymondM Cohen est un cachetier -
quand n (le nombre de fil est grand ) la probabilité cherchée est équivalente à e/n
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Bonjour,
bravo aux concepteurs des problèmes en tout cas. [size=x-small]Comme le souligne sieur Jacquot cela donne des idées d'activité adaptable en classe, cohérente avec l'esprit des programmes actuels : faire des nattes à partir de problèmes. Le problème étant de trouver de bons problèmes.[/size]
S -
Il me semble que la probabilité de réaliser une boucle unique tend assez vite vers zéro quand on augmente le nombre de fil .
Domi -
Que cette proba tende vers 0 OK, mais pour ce qui est de la rapidité, on fait mieux.
Domi, il me semble difficile de poursuivre cette discussion avant une semaine si nous voulons respecter l'accord tacite des participants de ne pas donner la solution. -
Je plussoie aléa, mais m'interdis de donner des explications avant 1 semaine.:D
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Pour l'équivalent je trouve:
$C=\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ en reprenant l'équivalent d'aléa (où l'on considère que l'on a $2n$ brins). -
J'ai retrouvé le manuel où j'avais vu un exercice de ce type : il s'agit d'un manuel de première S, le Terracher chez Hachette (2001).
Mais c'est une variante, dans celle-ci, il n'y a que trois ficelles doublées, donc on fait seulement des noeuds en bas et pas en haut.
Et le problème est pré-décortiqué de cette façon :
Je n'ai pas encore bien réfléchi si cela simplifie les choses.[size=small]Le problème des ficelles
Une ancienne coutume slave, pour décider du mariage d'une jeune fille, voulait que l'on réalise l'expérience aléatoire suivante.
Trois morceaux de ficelle pliés en deux sont tenus dans la main comme l'indique la figure a. On noue deux par deux, au hasard, les six extrémités qui dépassent du poing fermé. On désigne par A l'évènement : "obtenir une boucle fermée à la fin de l'expérience" (figure b).
La coutume voulait que l'on marie la jeune fille lorsque l'évènement A se réalisait. Le but de cet exercice est de déterminer quel est, de ${A}$ ou de $\bar{A}$, l'évènement le plus probable.
1) Le modèle
En représentant les morceaux de ficelle comme l'indique la figure ci-dessous, l'épreuve consiste alors à associer les nombres deux par deux.
Une issue sera notée, par exemple :
$\omega$ = (1-6, 2-3, 4-5).
a) L'issue $\omega$ ci-dessus est-elle favorable à la réalisation de A ?
b) Expliquer pourquoi on peut se contenter de désigner $\omega$ par (1-6,2-3).
2) Le calcul
Compléter l'arbre ci-après.
Combien y a-t-il d'issues possibles ? D'issues favorables à A ?
[/size]
Je me demande si le fait que les ficelles soient déjà nouées en haut rend l'événement plus probable que dans l'autre énoncé, ou si ça ne change rien.
Va falloir que je fasse le calcul pour vérifier...
Sinon, dans cet énoncé, ce ne serait pas une coutume folklorique issue d'un pays imaginaire, mais une "ancienne coutume slave" 8-). Ben voyons... -
Ce qui est épatant, c'est de voir un $\pi$ dans la formule de Flater-aléa.
Ensuite, on se dit que c'est normal, puisque les ficelles sont nouées pour faire un cercle
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Bonsoir
J'ai essayé de généraliser le défi de la manière suivante:Une ficelle peut avoir les deux bouts du même côté,ie M Cohen va plier la corde et cacher le milieu de la corde avec la paume de la main,il deviendra dans ce cas cachotier.Le nombre de bouts n'est forcément égal de part et d'autre .Quelles sont les configurations possibles? quelle est la probabilité.... -
Moi je l'obtiens avec la formule de Stirling. Je suis curieux de voir comment tu fais intervenir l'intégrale de Gauss.
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Moi aussi mais je ne voulais pas trop vendre la mèche en disant Stirling. En fait la formule de Stirling, le calcul de $\Gamma(1/2)$, le calcul de $\zeta'(0)$ (et le théorème central limite en proba) reposent sur des idées très liées.
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@Juge Ti: quand tu regardes la probabilité qu'une marche aléatoire simple fasse $0$ au temps $2n$, tu obtiens une quantité qui peut s'exprimer en fonction d'une intégrale de Wallis. Comme tu le sais sans doute, on peut calculer l'équivalent de l'intégrale de Wallis sans la formule de Stirling, soit avec l'astuce taupinale de faire le produit de deux termes consécutifs, soit avec une méthode "à la Laplace" qui la relie à l'intégrale de Gauss.
Il y a un petit miracle qui fait qu'on peut faire apparaître cette quantité ici (c'est à mon avis purement algébrique, je ne vois pas de lien entre les deux modèles). -
Puisque le mot est lâché, j'avais également obtenu un facteur Pi par Stirling.
J'ai souvent été intrigué ou émerveillé de retrouver Pi en proba là où on ne l'attendait pas à priori... -
@aléa
Calculer l'équivalent de l'intégrale de Wallis $W_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^{n}\theta d\theta $ sans la formule de Stirling, cela peut se traiter sans faire le produit de deux termes consécutifs, mais simplement en utilisant la relation de récurrence entre les $W_{n}$, qui s'établit par une IPP, et avec la décroissance de la suite $W_{n}$. C'est effectivement un bon exercice à Bac+1, pas seulement en hypotaupe mais en d'autres prépas, et en Terminale, les années où l'IPP est au programme, et pourquoi pas en fac ? Et je me perds en conjectures sur ce que peut être une "astuce taupinale".
J'irai même jusqu'à affirmer que non seulement "on peut", mais on doit calculer l'équivalent de l'intégrale de Wallis sans la formule de Stirling, car quand on prouve cette dernière formule, de telle ou telle façon, on démontre l'existence d'un équivalent $n!\sim Kn^{n}e^{-n}n^{\frac{1}{2}}$, où $K$ est une constante réelle positive, comme l'on en trouve dans ces calculs asymptotiques, et qui restent généralement en l'état, bénéficiant au mieux d'un nom propre si l'on les en juge dignes, comme la Constante d'Euler. Mais ici, ô surprise ! Il apparaît La Constante la plus connue des mathématiques, le fabuleux nombre Pi. Et pourquoi donc ? Eh bien justement, à cause de la formule de Wallis.
Ou alors, qu'on me signale un exposé de la formule de Stirling au complet, avec la valeur de la constante, et qui ne fasse pas intervenir la formule de Wallis.
Bon dimanche. Bien cordialement,
RC
 À Ç É Ê È
â ê ë ï î ô û ü -
Il me semble que lorsqu'on applique la méthode de Laplace à la fonction Gamma, on trouve la formule de Stirling sans utiliser les intégrales de Wallis. La constante $\sqrt{\pi}$ provient alors de l'intégrale de Gauss, qui peut se calculer sans Wallis ...
Voir par exemple quelque part dans "Principes d'analyse mathématique" de W. Rudin pour une preuve auto-contenue. -
Je fais allusion à cette méthode
\begin{enumerate}
\item \index{intégrale de Wallis}\index{Wallis (intégrale de)} On pose $$W_n=\int_0^{\pi/2} (\cos\theta)^n \ d\theta.$$
Montrer que $W_n=\frac{n-1}n W_{n-2}$. En déduire que la suite $(nW_nW_{n-1})_{n\ge 1}$ est constante.
\item Montrer que $W_nW_{n+1}\le W_n^2\le W_nW_{n-1}$. En déduire l'équivalent à l'infini $$W_n\sim\sqrt{\frac{\pi}{2n}}.$$
\end{enumerate}
C'est elle que j'appelle la méthode taupinale.
Elle conduit, comme tu l'as rappelé, à identifier la constante de la formule de Stirling.
Mais la formule de Stirling peut se montrer "à la Laplace", comme suit:
\emph{Formule de Stirling.}
\begin{enumerate}
\item \index{formule de Stirling} Montrer que $\int_{2n}^{+\infty} x^n e^{-x}\ dx=o(\Gamma(n+1))$.
\item Montrer l'équivalent à l'infini $\frac{\Gamma(n+1)}{e^{-n}n^{n+1/2}} \sim \int_{-\sqrt{n}}^{\sqrt n} (1+\frac{u}{\sqrt{n}})^n e^{-u\sqrt n}\ du$.
\item Montrer que pour tout $x\in ]-1,1[$, on a $\log(1+x)-x\le-\frac{x^2}6$.
\item On rappelle que $\int_0^{+\infty} e^{-t^2/2}\ dt={\sqrt{\pi /2}}$. Montrer que $$\Gamma(n+1)\sim\sqrt{2\pi}e^{-n}n^{n+1/2}.$$
\end{enumerate}
Edit: Corrigé suivant les indications de RC. -
@ aléa
Sur l'apparition "magique" du nombre Pi en Probabilités, il me revient une anecdote. C'étaient deux copains qui suivaient des cours du soir d'actuariat, et en sortant d'une séance sur les probabilités, l'un dit à l'autre : "tu as compris le cours ?", et l'autre répond : "pas vraiment, mais le professeur s'est certainement trompé, car il donne des formules avec le nombre Pi, et les dénombrements n'ont rien à voir avec la longueur du cercle".
Je cite de mémoire en altérant probablement, car je ne retrouve pas la référence. Peut-être quelqu'un rétablira-t-il la narration exacte.
Bon dimanche.
RC -
On trouve aussi dans la référence ci-dessous une preuve n'utilisant pas la formule de Wallis.
\textsc{W. Feller}, {\it A direct proof of Stirling's formula}, AMM {\bf 74} (1967), 1223--1225. Corrigendum: Correction to "A direct proof of Stirling's formula", Ibid. {\bf 75} (1968), 518.
Voici le document en question : http://archive.lucares.de/paper/Feller\%{}20-\%{}20A\%{}20direct\%{}20proof\%{}20of\%{}20Stirling's\%{}20formula.pdf -
@RC: pas mal, la blague. J'aime bien aussi celle de Jacquot, qui en est une espèce de symétrique.
@discret: Merci pour le texte de Feller, que je ne connaissais pas.
Ca me fait penser au papier de Gordon, que j'ai déjà mentionné ici:
http://ocw.nctu.edu.tw/course/fourier/supplement/gamma.pdf -
Bonjour
Aucun mot sur ma généralisation! ben Merci :-( -
Bien. Bravo et merci pour ces riches références. Je retire le "on doit" qui était vraiment trop dogmatique.
J'observe toutefois que l'exposé que je propose pour les formules de Wallis et Stirling est le plus élémentaire, qui demande le moins de pré-requis, présentable tel quel à Bac+1, même en prépa-HEC. Bien sûr, si l'on suppose connus l'intégrale de Gauss, la fonction Gamma, la formule du produit eulérien pour le sinus et que sais-je encore, on peut prouver beaucoup ...
Dans l'exposé élémentaire que je propose pour la formule de Wallis, je n'utilise pas du tout la présumée "astuce taupinale" selon laquelle la suite $(nW_nW_{n-1})_{n\ge 1}$ est constante. Pour moi, la décroissance de la suite la suite $W_n$ suffit.
Mais la constance de cette suite n'est pas du tout une "astuce taupinale ", c'est tout simplement un résultat comme d'autres, qui trouve son intérêt lorsque l'on "continuise" le problème et qu'on considère, non plus la suite $W_n$, mais la fonction : $W(x)=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(\sin \theta )^{x}d\theta $.
Y a-t-il une classification des mathématiques taupinales et des ... autres (?)
Référence : Formules : Wallis, Stirling, Le petit Archimède, spécial Pi, 1980.
Bonne journée.
RC
NB. Attention, il y a une erreur à l'intégrale de Gauss.
 À Ç É Ê È
â ê ë ï î ô û ü -
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A noter aussi l'existence d'une preuve de la formule de Stirling à l'aide du théorème central limite, appliqué à une suite de v.a. iid suivant une loi de Poisson. Il est nécessaire là encore de connaître l'intégrale de Gauss il me semble.
PS : Que de touin-touin pour un malheureux adjectif "taupinal" lâché au détour d'un message ... -
Heureux de voir que certains ont voulu développer les différents liens que j'indiquais. Un seul n'a pas encore été exposé : celui avec $\zeta'(0)$, où $\zeta$ est la fonction de Riemann.
La formule d'Euler-Maclaurin appliquée à $\ln(x)$ fournit le développement asymptotique de $\ln(n!)$ avec une constante explicite donnée par l'intégrale
$$
\int_1^\infty \left(\{t\}-\frac{1}{2}\right)\frac{dt}{t}
$$
Il est en fait assez rapide de voir que cette intégrale vaut $-\zeta'(0)-1$. La détermination de la constante de Stirling revient alors à prouver que $\zeta'(0)=-\frac{1}{2}\ln(2\pi)$, ce qui peut se faire par exemple en manipulant son équation fonctionnelle.
Cette approche n'est bien sûr pas la plus simple, mais je trouve que le lien est intéressant. -
Bon, je recommence alors.
@RC: il y a des résultats, et surtout des preuves, qui sont plus connues, ou plus appréciées dans certains milieux. Pour ce qui est de la première preuve de Wallis que j'évoquais, elle est visiblement en cour chez les profs de prépa (faire google "intégrale de Wallis"). Le relecteur à qui nous avions soumis le chapitre de [GK] où nous la proposions en exercice corrigé, nous a clairement dit qu'il aurait préféré une preuve moins taupinale.
Nous l'avons maintenue, car le métissage des cultures mathématiques nous semble une bonne chose.
Ce site y participe avec bonheur.
Je serais très heureux de lire la preuve du petit Archimède que tu évoques. Est-ce que quelqu'un peut la scanner ? -
Bonjour,
histoire de ronger son frein jusqu'à la publication en bonne et due forme de ce défi V, si l'on jouait au pif d'or à savoir trouver dans les grandes lignes le prochain défi ?
Sur ce défi V, je sèche quant à la programmation (pas trop fastidieuse, avec python) d'une simulation par le compte de Monte Carlo, histoire de voir si la solution que je trouve est crédible.
S -
En Scilab
function r=haut_deux(n) a=grand(1,"prm",(1:2*n)') r=zeros(1:2*n) for i=1:n r(a(2*i-1))=a(2*i) r(a(2*i))=a(2*i-1) end endfunction function o=ordre(n) a=haut_deux(n) b=haut_deux(n) o=0 c=1 while ((c<>1) | (o==0)) o=o+1 c=b(a(c)) end endfunction function s=stat(n,N) somme=0 for i=1:N somme=somme+(ordre(n)==n) end s=somme/N endfunction -
Merci aléa,
la syntaxe de scilab m'est étrangère, cela donne quoi sur disons 897 simulations ?
On est d'accord que c'est pas tricher hein ?
S -
-->stat(3,897)
ans =
0.5284281 -
Merci sieur aléa.
S -
Je commente les lignes les plus mystérieuses:
a=grand(1,"prm",(1:2*n)')
a est un vecteur aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'ensemble des permutations des entiers de 1 à 2n
r=zeros(1:2*n)
r est un vecteur de taille 2n rempli de zéros -
Pour le pif d'or, je dirais un défi de logique, haem..., je vois des boîtes de maïs ... zut, la communication a été coupée.
S -
Je ne comprends pas ta modélisation avec les dérangements.
Pour moi, il est assez logique, en première approche, de prendre comme ensemble des possibles $\Omega=P_n^2$ où $P_n$ est l'ensemble des partitions de $\{1,\dots,2n\}$ en $n$ ensembles de cardinal $2$. (J'ai donc choisi de numéroter les ficelles, ce qui est le plus simple en première approche)
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Bonjour!
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