petit exo sur les groupes

dans Arithmétique
Bonjour à tous,
je suis confronté à un exercice dont je n'ai pas la solution et qui pourtant ne doit pas être très compliqué;
Soient x et y 2 éléments d'ordre p et q d'un groupe multiplicatif commutatif. On pose z = x+y.
Déterminer le cardinal de F , groupe engendré par x+y.
ce que j'ai fait:
Avec l'identité de Bezout j'ai montré que x et y sont dans F , donc Fx et Fy (groupes engendré par x et y)sont inclus dans F.Je vois bien partant de là que le cardinal de F=pq, mais ne n'arrive pas à le mettre en forme.
Merci pour votre aide (par avance)
je suis confronté à un exercice dont je n'ai pas la solution et qui pourtant ne doit pas être très compliqué;
Soient x et y 2 éléments d'ordre p et q d'un groupe multiplicatif commutatif. On pose z = x+y.
Déterminer le cardinal de F , groupe engendré par x+y.
ce que j'ai fait:
Avec l'identité de Bezout j'ai montré que x et y sont dans F , donc Fx et Fy (groupes engendré par x et y)sont inclus dans F.Je vois bien partant de là que le cardinal de F=pq, mais ne n'arrive pas à le mettre en forme.
Merci pour votre aide (par avance)
Réponses
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Un groupe multiplicatif noté additivement ! Du jamais vu...
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oui, je voulais dire commutatif, erreur de frappe
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En fait j'ai trouvé, on a immédiatement,F inclus dans Fx+Fy et Fx+Fy inclus dans F, Et f(a,b)= a+b est un isomorphisme de groupe (presque immédiat)
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Archimède a écrit:Un groupe multiplicatif noté additivement ! Du jamais vu...
Ne va pas fouiller dans les mathématiques tropicales, toi.The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
-- Harris, Sidney J. -
En effet Nicolas, c'est effectivement du déjà vu
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Si tu ne supposes pas $p$ et $q$ premiers entre eux le groupe engendré par $x+y$ n'est pas d'ordre $pq$
L'ordre ce ce groupe est un diviseur de $ppcm(x,y)$
En effet, il suffit de considérer la somme: $(x+y)+...+(x+y)$ ,le nombre de termes de la somme étant $ppcm(x,y)$
En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'énormités.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
En faiit j ai mal recopié l'énoncé, p et q sont premiers entre eux, c est d ailleurs pour çà que j ai utilisé Bezout....
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Que vient faire ici Bézout ?Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Ben avec Bézout il existe u et v tq up-vq=1 et en posant k = up = vq+1, on obtient que k(x+y) = x et donc x est dans F, de même y, donc F= Fx+Fy.
Donc f:Fx X Fy--> F , (u,v)--> u+v est un isomorphisme de groupe donc card F=pq
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Bonjour!
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