petit exo sur les groupes

Bonjour à tous,
je suis confronté à un exercice dont je n'ai pas la solution et qui pourtant ne doit pas être très compliqué;
Soient x et y 2 éléments d'ordre p et q d'un groupe multiplicatif commutatif. On pose z = x+y.
Déterminer le cardinal de F , groupe engendré par x+y.

ce que j'ai fait:
Avec l'identité de Bezout j'ai montré que x et y sont dans F , donc Fx et Fy (groupes engendré par x et y)sont inclus dans F.Je vois bien partant de là que le cardinal de F=pq, mais ne n'arrive pas à le mettre en forme.
Merci pour votre aide (par avance)

Réponses

  • Un groupe multiplicatif noté additivement ! Du jamais vu...
  • oui, je voulais dire commutatif, erreur de frappe
  • En fait j'ai trouvé, on a immédiatement,F inclus dans Fx+Fy et Fx+Fy inclus dans F, Et f(a,b)= a+b est un isomorphisme de groupe (presque immédiat)
  • Archimède a écrit:
    Un groupe multiplicatif noté additivement ! Du jamais vu...

    Ne va pas fouiller dans les mathématiques tropicales, toi. :D
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • En effet Nicolas, c'est effectivement du déjà vu

  • Si tu ne supposes pas $p$ et $q$ premiers entre eux le groupe engendré par $x+y$ n'est pas d'ordre $pq$

    L'ordre ce ce groupe est un diviseur de $ppcm(x,y)$

    En effet, il suffit de considérer la somme: $(x+y)+...+(x+y)$ ,le nombre de termes de la somme étant $ppcm(x,y)$

    En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'énormités.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • En faiit j ai mal recopié l'énoncé, p et q sont premiers entre eux, c est d ailleurs pour çà que j ai utilisé Bezout....

  • Que vient faire ici Bézout ?
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Ben avec Bézout il existe u et v tq up-vq=1 et en posant k = up = vq+1, on obtient que k(x+y) = x et donc x est dans F, de même y, donc F= Fx+Fy.
    Donc f:Fx X Fy--> F , (u,v)--> u+v est un isomorphisme de groupe donc card F=pq
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